Tres números permiten medir una caja, pero comprar material para cubrirla exige imaginar todas sus caras. Definamos una caja rectangular propia de 6×4×3 cm y despleguémosla en un plano. También veremos por qué la arista lateral de un prisma oblicuo no es su altura.
Prisma: una base trasladada
Requisitos: área de polígonos, normal a un plano, caras y secciones.
Imaginemos un polígono y su copia trasladada por un vector no nulo no paralelo a su plano. Unimos los vértices correspondientes: las figuras congruentes en planos paralelos son las bases del prisma y las caras laterales son paralelogramos. Las aristas laterales son iguales y paralelas. Dos polígonos iguales y paralelos no bastan sin la conexión correspondiente: girar la base superior no produce este prisma.
Un prisma convexo de base n-gonal tiene n+2 caras, 2n vértices y 3n aristas: n por base y n laterales, con n≥3. Una sección paralela a las bases y situada entre ellas es congruente con la base; no se estrecha hacia arriba como una pirámide.
La altura h es la distancia entre los planos de las bases, una longitud perpendicular. En un prisma recto, las aristas laterales son perpendiculares a las bases y miden h; las caras laterales son rectángulos. En un prisma oblicuo la arista inclinada supera h. Por ejemplo, desplazamiento horizontal 3 y altura 4 dan arista √(3²+4²)=5, no 4.
Un prisma regular es recto y tiene base poligonal regular. La caja rectangular de base 6×4 cm es un prisma recto, pero no regular: su base no es cuadrada. «Recto» y «regular» no son intercambiables.
Paralelepípedo y diagonales
Un prisma de bases paralelogramos es un paralelepípedo: sus seis caras son paralelogramos. Si es recto y de bases rectangulares, es un paralelepípedo rectangular, u ortoedro. Si sus tres dimensiones son iguales, es un cubo. Tener seis caras no convierte en rectangular un paralelepípedo oblicuo.
La diagonal de una cara está en esa cara. La diagonal espacial une vértices que no comparten cara. Para un ortoedro de dimensiones a,b,h, dos aplicaciones de Pitágoras dan:
d = √((a)^(2) + (b)^(2) + (h)^(2)).
Primero el cuadrado de la diagonal de la base es a²+b²; después esta y la altura forman un triángulo rectángulo. Nuestra caja tiene d=√61≈7,81 cm. Un cubo de arista a tiene diagonal de cara a√2 y espacial a√3. No trasladamos la fórmula de tres cuadrados a cualquier paralelepípedo oblicuo: requiere ángulos rectos.
El desarrollo explica el área
Caja de 6×4×3 cm
Sus seis caras desplegadas
Arista inclinada ≠ altura
Cortamos la superficie de la caja ideal cerrada por algunas aristas y desplegamos sus seis caras sin solaparlas. Obtenemos un desarrollo plano con dos bases de 6×4, dos caras laterales de 6×3 y dos de 4×3 cm. Se pliega por lados compartidos; las longitudes correspondientes deben coincidir. No cualquier disposición de seis rectángulos forma la caja prevista.
Las áreas laterales suman 2·6·3+2·4·3=60 cm². En general, cada cara lateral de un prisma recto tiene área aᵢh, de modo que:
S_(lat) = Ph, S_(total) = Ph + 2B.
P es el perímetro de la base y B el área de una base. Así P=20 cm, B=24 cm² y el área total es 60+48=108 cm². En un ortoedro equivale a 2(ab+ah+bh); en un cubo, a 6a².
Sin tapa superior restamos una base: 108−24=84 cm². La unidad de área es cm², no cm ni cm³. Volumen y capacidad se tratarán en G034: el área superficial no indica cuánto líquido cabe dentro.
Límite del modelo
En un prisma oblicuo pueden ser distintas las alturas de los paralelogramos laterales respecto a las aristas de la base. Por eso Ph con la altura perpendicular del prisma no sirve en general para el área lateral: calculamos las caras por separado. No sustituimos h y todas las alturas de caras por una sola arista inclinada.
108 cm² es el área de las caras de una caja ideal cerrada sin grosor. Una pieza real puede necesitar solapas, costuras y desperdicios de corte. No aparecen automáticamente en la fórmula geométrica; primero hace falta un diseño concreto. Asimismo, sumar longitudes de aristas calcula material del armazón, no área de revestimiento.
Fuentes
Definiciones y fórmulas escolares contrastadas con el manual de Merzliak, Nomirovskyi, Polonskyi y Yakir de 2019, apartados 16–17, pp.98–108. Además, AMSI, Surface Area of a Prism explica la suma de áreas mediante un desarrollo. Las dimensiones, ejemplos numéricos y esquema son propios, no una especificación de fabricación.