Fracciones algebraicas: simplificar no recupera valores excluidos

En $\frac{x^2-1}{x-1}$ podemos cancelar $x-1$ y obtener $x+1$ . ¿Eso permite usar $x=1$ ? No: la fracción original no tenía valor para $x=1$ , y una escritura más corta no cambia sus condiciones iniciales. Para cualquier otro $x$ real sí vale $x+1$ .

Necesitamos factorizar: se cancelan factores comunes, no fragmentos parecidos elegidos arbitrariamente.

Anotar primero el dominio

Una fracción algebraica racional es un cociente de polinomios. Su dominio contiene los valores de las variables que no anulan el denominador. Aquí $x-1\ne0$ , es decir, $x\ne1$ . En $1/[x(x+2)]$ se excluyen tanto 0 como −2.

Solo después factorizamos el numerador:

\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1,\qquad x\ne1.

La cancelación usa $(x-1)/(x-1)=1$ , que exige $x-1$ distinto de cero. Para $x=1$ aparece $0/0$ , no 1: la división no tiene un resultado definido.

Qué significa el círculo vacío

El eje horizontal muestra la entrada $x$ ; el vertical, el valor $y$ de la fracción. Cada pareja $(x,y)$ es un punto. Todas las parejas permitidas están sobre $y=x+1$ , pero falta $(1,2)$ . El círculo vacío indica un punto excluido, no un valor cero.

La fracción (x²−1)/(x−1) equivale a x+1 solo para x ≠ 1. El círculo vacío (1,2) queda excluido. Escalas uniformes; se muestra −1 ≤ x ≤ 3.

Para $x=2$ obtenemos $3/1=3$ ; para $x=0$ , $(-1)/(-1)=1$ . Cerca de uno los valores están cerca de 2, pero esa proximidad no crea un valor en la entrada prohibida.

No se cancelan términos de una suma

$\frac{x+2}{x}$ no equivale a 2 en general. Para $x=2$ vale 2, pero para $x=4$ vale $6/4=1{,}5$ . La separación correcta es $\frac{x+2}{x}=1+\frac2x$ , con $x\ne0$ . En el numerador, $x$ es un sumando, no un factor independiente de toda la suma. Operaciones racionales, OpenStax §1.6.

Denominador común y signos

Para sumar o restar usamos un mismo denominador, cambiando a la vez numerador y denominador:

\frac1x+\frac1{x+1}=\frac{x+1+x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x(x+1)}.

Conservamos $x\ne0,-1$ . Al restar, se resta todo el segundo numerador: $(x+1)-x=1$ , así que la diferencia es $1/[x(x+1)]$ en el mismo dominio.

Para multiplicar, multiplicamos numeradores y denominadores. Por ejemplo, $\frac{x-1}{x}\cdot\frac{x}{x+2}=\frac{x-1}{x+2}$ , pero $x\ne0,-2$ incluso cuando desaparece $x$ .

Dividir añade otra restricción

El divisor debe tener un valor distinto de cero. Por tanto:

\frac{x}{x+1}:\frac{x}{x-1}=\frac{x}{x+1}\cdot\frac{x-1}{x}=\frac{x-1}{x+1}.

El primer denominador excluye −1; el segundo, 1; y el divisor no nulo, 0. Las tres condiciones acompañan al resultado. Olvidar la última permitiría una división entre cero que la cancelación ya ha ocultado.

Rama · Una distinciónRellenar un valor es una operación aparte.

Podemos definir una regla nueva

Podemos definir $y=x+1$ para todo número real $x$ , incluido uno. Así extendemos la relación inicial rellenando el hueco con 2. Pero es una regla nueva con un dominio mayor, no una prueba de que la fracción antigua ya tuviera ese valor.

Simplificar conserva los resultados donde las operaciones originales tenían sentido. La expresión abreviada y sus restricciones originales deben viajar juntas.