El agua fluye más cada minuto: caudal hipotético q(t)=2+t litros por minuto, 0≤t≤4, t en minutos. ¿Cuánta agua llega? No basta multiplicar todo el tiempo por el caudal inicial. La integral suma pequeñas contribuciones «caudal × tiempo» y toma su límite. Requisitos: límites y primitivas.
De cuatro rectángulos al límite
Dividimos el tiempo en n partes iguales, elegimos tᵢ* dentro de cada una y estimamos su contribución:
Q_(n) = ((∑)_(i = 1))^(n)q((t_(i))^(∗))Δt, Δt = 4/n.
Para n=4, los extremos izquierdos dan 2+3+4+5=14 L y los derechos 3+4+5+6=18 L. Como el caudal crece, la primera estimación queda por debajo y la segunda por encima. Para n general:
L_(n) = 16 − 8/n, R_(n) = 16 + 8/n; L_(n),R_(n)→16.
La integral definida es el límite común de estas sumas cuando la mayor anchura tiende a cero, independiente de particiones y puntos elegidos, si existe. Una función continua en un intervalo cerrado lo tiene. Definición y signo.
Cuatro rectángulos izquierdos
q=2+t; n=4; L₄=14
Signos de contribuciones
f=x−1; ∫ f =0; ∫ |f| =1
Cómo una primitiva simplifica el cálculo
Si f es continua en [a,b] y F es su primitiva, el teorema fundamental da:
((∫)_(a))^(b)f(x) dx = F(b) − F(a), F′ = f.
Al sumar cambios de F en partes vecinas se cancelan los valores interiores y quedan los extremos. La relación entre derivación y acumulación justifica la fórmula, no solo la semejanza de símbolos. OpenStax
Q = ((∫)_(0))^(4)(2 + t) dt = (([2t + ((t)^(2))/(2)])_(0))^(4) = 16.
Son 16 L. Las unidades coinciden: L/min × min = L. La constante C se cancela. a,b son límites de integración; dx o dt indica la variable. La integral definida es un número; la indefinida, una familia de funciones.
Área con signo y área geométrica
Las partes bajo el eje aportan valores negativos. En el ejemplo adimensional f(x)=x−1:
((∫)_(0))^(2)(x − 1) dx = 0, ((∫)_(0))^(2)∣x − 1∣ dx = 1.
Dos triángulos tienen área 1/2 cada uno: se cancelan en la suma con signo y se suman en el área geométrica. Del mismo modo, integrar velocidad da desplazamiento; integrar su valor absoluto da distancia recorrida.
Entre gráficas continuas restamos la función inferior de la superior. En [0,1], x≥x²:
S = ((∫)_(0))^(1)(x − (x)^(2)) dx = (1)/(6).
Si intercambian posiciones, dividimos en las intersecciones o integramos la diferencia absoluta. Áreas entre curvas.
Puente hacia el volumen
El área transversal A(x) multiplicada por un pequeño espesor da un volumen pequeño. Para áreas continuas de secciones perpendiculares al eje x:
V = ((∫)_(a))^(b)A(x) dx; ((∫)_(0))^(3)2 dx = 6.
Un área constante de 2 m² a lo largo de 3 m da 6 m³. Es el mismo principio de acumulación, no otra fórmula aislada. Método de secciones.
Elige la integral según lo acumulado: agua, cambio con signo, área o volumen. Límites, signo y unidades determinan el significado del resultado.