Un proceso ficticio ocupa memoria según R(t) = 4 − (t − 2)^(2) en 0 ≤ t ≤ 4, con t en horas y R volumen numérico en GB. ¿Qué aprendemos sin calcular cada minuto? Una gráfica se lee por su dominio, ceros, dirección de cambio y cotas; se transforma cambiando coordenadas.
Usamos funciones, relaciones lineales y parábolas. Es un ejemplo inventado, no memoria medida de un programa real.
Primero el dominio y los ejes
El dominio es [0,4], los ceros son 0 y 4 y el recurso es positivo entre ellos. Crece de 0 a 2 horas y decrece de 2 a 4. «Crecer» compara dos entradas cualesquiera del intervalo: si t_(1) < t_(2), entonces R(t_(1)) < R(t_(2)). No significa «ser positivo»: una función positiva puede decrecer.
Si también se permite igualdad, decimos «no decreciente» y escribimos R(t_(1)) ≤ R(t_(2)). Entonces se admite un tramo horizontal; el crecimiento estricto lo excluye.
Aquí 0 ≤ R ≤ 4: la función está acotada inferior y superiormente. El máximo 4 ocurre en 2; el mínimo 0, en los extremos. Pero una cota no siempre se alcanza: 1/x para x > 0 supera 0 y se aproxima a él, sin tener mínimo 0.
Uso hipotético de memoria
Función inversa: intercambiar coordenadas
La simetría necesita el dominio correcto
Una función par cumple f( − x) = f(x); una impar, f( − x) = − f(x), con dominio simétrico respecto de cero. En toda la recta, (x)^(2) es par y (x)^(3) impar. La primera gráfica se refleja respecto del eje vertical; la segunda permanece igual tras media vuelta alrededor del origen.
R(t) es simétrica respecto de t = 2, pero no es par en [0,4]: por ejemplo, −1 queda fuera del dominio. Si ponemos u = t − 2, obtenemos R = 4 − (u)^(2) en [ − 2,2], ahora par respecto de u. Cambiar el origen cambia la conclusión sobre paridad.
Qué cambia en las coordenadas
En g(x) = f(x) + k, todos los puntos suben k si k > 0. En g(x) = f(x − h), se desplazan h a la derecha si h > 0: la antigua entrada u aparece ahora en x = u + h. Esto explica el signo menos interior.
g(x) = af(x) multiplica las coordenadas verticales por a; si a < 0, añade reflexión en el eje horizontal. g(x) = f( − x) refleja en el vertical. Para b > 0, g(x) = f(bx) divide las coordenadas horizontales entre b: b = 2 comprime horizontalmente a la mitad. El dominio cambia con las mismas reglas. Transformaciones, OpenStax §3.5.
Rama · Reglas sucesivasEl orden importa para fórmula y dominio.
La composición se lee desde dentro
f∘g significa f(g(x)): primero g, después f. Para f(x) = x + 1 y g(x) = (x)^(2), f(g(x)) = (x)^(2) + 1, pero g(f(x)) = (x + 1)^(2). En x = 2 dan 5 y 9. La entrada debe pertenecer al dominio de g y el resultado intermedio g(x) al de f. Composición, OpenStax §3.4.
Rama · El camino de vueltaLa inversa no es el recíproco 1/f.
¿Cuándo recupera la salida una entrada única?
Existe una inversa (f)^( − 1) en el recorrido de f si cada resultado tiene exactamente una entrada original. Es una correspondencia uno a uno con su propio recorrido; gráficamente, cada horizontal corta como máximo una vez. Entonces (f)^( − 1)(f(x)) = x y f((f)^( − 1)(y)) = y en los dominios correspondientes.
Para la temperatura numérica F(C) = 9C/5 + 32, la regla inversa es C(F) = 5(F − 32)/9: 20°C da 68°F y al volver obtenemos 20°C. La fórmula no otorga sentido físico a temperaturas fuera del dominio físicamente admisible.
Intercambiar entrada y salida lleva (x,y) a (y,x). Con escalas numéricas iguales, es una reflexión respecto de y = x. El panel inferior muestra f(x) = 2x + 1 y (f)^( − 1)(x) = (x − 1)/2: (1,3) pasa a (3,1). La notación −1 no significa 1/f(x).
(x)^(2) en toda la recta no tiene función inversa: −2 y 2 producen 4. Restringiendo la entrada a x ≥ 0, tiene inversa √(x) en x ≥ 0. Funciones inversas, OpenStax §3.7.
Incluso una curva desconocida se vuelve legible al separar dominio, comportamiento y cambios de coordenadas. Para volver atrás queda otra pregunta: ¿determina el resultado una única entrada original?