Funciones potencia: por qué la escala cambia el resultado

Aumentemos la arista de un cubo de 2 a 4 cm. La longitud se duplica, el área de una cara pasa de 4 a 16 cm² y el volumen de 8 a 64 cm³. Un mismo cambio de escala produce factores distintos según el exponente.

Usamos raíces y potencias racionales y lectura de gráficas. En el escalado geométrico, todas las longitudes correspondientes cambian por el mismo factor: las figuras siguen siendo semejantes.

El exponente es fijo; la base varía

Una función potencia tiene forma $f(x)=kx^a$ : $k$ y $a$ son constantes y $x$ varía. Ejemplos: $x$ , $x^2$ , $x^3$ , $1/x=x^{-1}$ y $\sqrt x=x^{1/2}$ en sus dominios. En $2^x$ varía el exponente: es una función exponencial, no una función potencia. Definición, OpenStax §5.2.

Para $x>0$ y un factor de escala positivo $s$ , $f(sx)=s^a f(x)$ . Con $a=1,2,3$ , duplicar da factores 2,4,8. Con $a=-1$ , la mitad; con $a=1/2$ , $\sqrt2$ , aproximadamente 1,414: ni la mitad ni el doble.

Paridad del exponente entero positivo

Para $n$ entero positivo, $x^n$ está definida en toda la recta real. Si $n$ es par, $(-x)^n=x^n$ : hay simetría respecto del eje vertical y valores no negativos. Decrece hacia 0 por la izquierda y crece por la derecha; mínimo 0.

Si $n$ es impar, $(-x)^n=-x^n$ : hay simetría respecto del origen y crecimiento en toda la recta. Su recorrido son todos los reales. Por eso la raíz cúbica admite números negativos y la raíz cuadrada real no.

Cinco leyes de potencia

y = x
y = x²
y = x³
y = √x
y = 1/x

Mismos ejes, unidades abstractas. Ventana: −2≤x≤2, −4≤y≤4. La raíz empieza en x=0; las dos ramas de 1/x están separadas. No se muestran las partes exteriores.

En $0<x<1$ , un exponente positivo mayor da un valor menor: para $x=1/2$ , $x=1/2$ , $x^2=1/4$ , $x^3=1/8$ . Para $x>1$ el orden se invierte. «El cubo siempre supera al cuadrado» es falso sin especificar dominio.

Un exponente negativo excluye el cero

$x^{-n}=1/x^n$ si $x\ne0$ . La gráfica de $x^{-1}$ tiene dos ramas y comparte signo con $x$ ; la de $x^{-2}$ tiene dos ramas positivas. Ninguna está definida en cero. No se debe unir la curva a través de la discontinuidad con una línea vertical.

El exponente cero da $x^0=1$ si $x\ne0$ . En este curso dejamos $0^0$ sin definir. Cero elevado a un exponente positivo vale cero cuando esa potencia está definida.

Las raíces determinan el dominio fraccionario

Para $x>0$ , $p$ entero y $q$ entero positivo, definimos $x^{p/q}=(\sqrt[q]x)^p$ . Si $p/q$ es positivo puede incluirse cero; si es negativo, no. Así, $x^{1/2}$ tiene dominio $[0,\infty)$ y $x^{-1/2}$ , $(0,\infty)$ . La raíz cuadrada crece y solo da valores no negativos. La raíz cúbica $\sqrt[3]x$ está definida en toda la recta y también crece. Raíces y potencias, OpenStax §1.3.

Rama · Una convención de dominioLas reglas generales son seguras para bases positivas; esta es una extensión aparte.

Exponente racional y base negativa

Para admitir $x<0$ , escribimos primero $p/q$ como fracción irreducible con $q>0$ . Si $q$ es impar, definimos $x^{p/q}=(\sqrt[q]x)^p$ . Por ejemplo, $(-8)^{1/3}=-2$ y $(-8)^{2/3}=4$ . Si $q$ es par, no existe valor real para $x$ negativo. Cero sigue excluido con exponentes negativos.

Esta convención exige cuidado: $2/6=1/3$ , de modo que $(-8)^{2/6}=-2$ , pero $(({-8})^2)^{1/6}=64^{1/6}=2$ . Reagrupar potencias cambió la respuesta. No se pueden trasladar sin condiciones las reglas de base positiva a bases negativas ni ocultar el dominio en la notación del exponente.

El exponente explica la escala del resultado solo junto con el dominio. Comprueba primero el signo de la base y el cero; después compara escalas: longitud, área y volumen no tienen por qué crecer igual.