Dos contornos circulares tienen radios de 40 y 25 mm. ¿A qué distancia deben estar sus centros para tocarse exteriormente? A 65 mm, la suma de los radios. Pero también existe tangencia interior a 15 mm. Para no confundirlas, identifiquemos qué estamos comparando.
Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano a una distancia positiva fija del centro. El círculo incluye la circunferencia y su interior. Una recta tangente tiene un único punto común con la circunferencia y es perpendicular al radio que llega a ese punto. Requisitos: distancia a una recta y desigualdad triangular.
Radio, diámetro y cuerda
El segmento del centro O a un punto de la circunferencia es un radio; también llamamos radio a su longitud R. Una cuerda une dos puntos distintos de la circunferencia. Si pasa por el centro, es un diámetro, cuya longitud es:
D = 2R.
El diámetro es la cuerda más larga. Para cualquier otra cuerda AB, O,A,B forman un triángulo, por lo que AB es menor que AO+OB=2R. No toda cuerda es diámetro ni todo segmento desde el centro es radio: su extremo debe estar en la circunferencia. Definiciones de AMSI.
Una recta: sin corte, tangente o secante
Sea h la distancia de O a la recta, medida perpendicularmente. La comparamos con R. Si h>R, no hay puntos comunes. Si h=R, hay un punto de tangencia T. Si h<R, hay dos puntos y la recta es secante.
¿Por qué hay un ángulo recto en la tangencia? El pie de la perpendicular es el punto de la recta más cercano a O. Si la distancia es R, el pie está en la circunferencia y los demás puntos de la recta están a más de R, por tanto fuera. La recta toca precisamente allí. Para una tangente, el radio OT es esa perpendicular. Euclides III.18.
Dos circunferencias: comparar suma y diferencia
Sean los radios R≥r>0 y la distancia entre centros d≥0. Todas las longitudes se expresan en una misma unidad. Los casos son:
| Condición | Qué sucede con las circunferencias |
|---|---|
| d>R+r | Separadas exteriormente: 0 puntos comunes |
| d=R+r | Tangencia exterior: 1 punto |
| R−r<d<R+r | Intersección: 2 puntos |
| d=R−r>0 | Tangencia interior: 1 punto |
| 0≤d<R−r | Una dentro de otra sin tocarse: 0 puntos |
| d=0 y R=r | Coinciden: infinitos puntos |
Radio, cuerda y tangente
Separadas exteriormente
Puntos comunes: 0
Tangencia exterior
Puntos comunes: 1
Dos intersecciones
Puntos comunes: 2
Tangencia interior
Puntos comunes: 1
Una dentro de otra sin tocarse
Puntos comunes: 0
Concéntricas, radios distintos
Puntos comunes: 0
La misma circunferencia
Puntos comunes: ∞
Un punto común T fuera de la recta de los centros forma con ellos un triángulo de lados R,r,d. Sus desigualdades estrictas dan R−r<d<R+r; dos posiciones reflejadas de T producen dos intersecciones. En los límites el triángulo se aplana y queda un punto de tangencia en la recta de los centros. Tangencia interior, tangencia exterior.
Dos circunferencias distintas no pueden compartir más de dos puntos. Con centros y radios idénticos, en cambio, son la misma circunferencia. Por eso la condición de tangencia interior incluye «>0». Euclides III.10.
Un mismo centro con radios distintos da circunferencias concéntricas sin puntos comunes. Radios iguales con centros distintos no hacen que coincidan.
Volvemos a las piezas circulares
Con radios de 40 y 25 mm, la tangencia exterior requiere d=40+25=65 mm. La interior requiere d=40−25=15 mm: por ejemplo, un disco pequeño dentro de una abertura circular se desplaza hasta tocar su borde.
Si 15<d<65 mm, los contornos se cortan en dos puntos. No significa que los círculos rellenos solo tengan dos puntos comunes: sus interiores también se solapan. Primero identifiquemos el objeto —circunferencia o círculo— y después apliquemos la tabla.