Las dos diagonales de un marco son iguales. ¿Ya podemos apretar sus uniones? Un trapecio isósceles también tiene diagonales iguales. La respuesta depende de qué más sepamos de la forma.

Un rectángulo es un paralelogramo con un ángulo recto. Un cuadrado es a la vez rectángulo y rombo. Las diagonales iguales solo constituyen un criterio de rectángulo junto con otra condición, por ejemplo que se corten mutuamente por la mitad. Usamos rectas paralelas y congruencia de triángulos.

Una familia que hereda propiedades

Todos los cuadriláteros aquí son simples, convexos y no degenerados; A,B,C,D siguen el contorno en orden. Las diagonales AC y BD unen vértices opuestos. Una diagonal divide la figura en dos triángulos, por lo que la suma de sus ángulos interiores es 360°.

  • Paralelogramo: ambos pares de lados opuestos son paralelos.
  • Rectángulo: todos los ángulos son rectos; es un paralelogramo especial.
  • Rombo: todos los lados son iguales; también es un paralelogramo.
  • Cuadrado: todos los lados son iguales y todos los ángulos son rectos; pertenece a las dos clases anteriores.
  • Trapecio: en este curso, exactamente un par de lados opuestos es paralelo. Esos lados son las bases; los demás, los laterales.

Con esta convención, un paralelogramo no es un trapecio. Otras fuentes dicen «al menos un par»: cambia la jerarquía, aunque no la geometría. En inglés usamos trapezoid; el término británico trapezium puede designar la misma figura. AMSI sobre rombos y trapecios.

Cuadriláteros convexosParalelogramosTrapeciosRectángulosRombosCuadrados

Marco rectangular

ABCD8060

Diagonales iguales: aún no basta

ABCDAC = BD

Perpendiculares: aún no basta

ABCDOAO ≠ OC
Las flechas van de la clase general a un tipo especial. Los cuadrados son rectángulos y rombos. Los trapecios tienen exactamente un par paralelo. Los paneles muestran un marco de lados 80 y 60, un trapecio con diagonales iguales sin ángulos rectos y un deltoide con diagonales perpendiculares que no se bisecan mutuamente. Escala uniforme por figura; distinta entre paneles.

Por qué resulta útil el paralelogramo

Sus lados y ángulos opuestos son iguales, los ángulos adyacentes suman 180° y las diagonales se cortan mutuamente por la mitad en O:

AO = OC, BO = OD.

Una diagonal forma dos triángulos congruentes: los ángulos formados con las paralelas son iguales y la diagonal es común. De ahí salen los lados opuestos iguales. Los triángulos congruentes alrededor de O dan luego las mitades iguales de las diagonales. Son consecuencias del paralelismo, no de un dibujo bien hecho.

Para reconocer un paralelogramo entre los cuadriláteros convexos basta cualquiera de estas condiciones:

  1. Ambos pares de lados opuestos son iguales.
  2. El mismo par de lados opuestos es a la vez igual y paralelo.
  3. Las diagonales se cortan mutuamente por la mitad.
  4. Ambos pares de ángulos opuestos son iguales.

En la segunda condición no podemos combinar la igualdad de un par con el paralelismo del otro. Criterios y demostraciones de AMSI.

Qué añade cada forma especial

  • Rectángulo. Iguales y se cortan por la mitad. Para un paralelogramo conocido basta comprobar: Un ángulo recto o diagonales iguales.

  • Rombo. Perpendiculares y se cortan por la mitad; cada una biseca los ángulos de sus extremos. Para un paralelogramo conocido basta comprobar: Dos lados adyacentes iguales o diagonales perpendiculares.

  • Cuadrado. Iguales, perpendiculares y se cortan por la mitad. Para un paralelogramo conocido basta comprobar: Los criterios de rectángulo y rombo a la vez.

¿Por qué funcionan las diagonales iguales en un paralelogramo? Los triángulos ABC y BAD comparten AB, con BC=AD y AC=BD. Por LLL, los ángulos ABC y BAD son iguales. Además, son ángulos adyacentes del paralelogramo y suman 180°: cada uno mide 90°.

¿Por qué la perpendicularidad da un rombo? Si las diagonales del paralelogramo son perpendiculares, los triángulos rectángulos AOB y AOD tienen catetos iguales: AO es común y BO=OD. Así, AB=AD; la igualdad de lados opuestos completa los cuatro lados iguales.

El marco: una comprobación suficiente y sus límites

Supongamos que ambos pares de lados opuestos de un marco plano de cuatro barras miden 80 cm y 60 cm respectivamente. Eso ya lo hace paralelogramo. Ahora la igualdad de sus diagonales demuestra que es rectangular. También podemos comprobar un ángulo recto. No necesitamos aquí el valor numérico de la diagonal.

Si no se han establecido las longitudes de los lados, otra opción es comprobar que ambas diagonales se cortan por la mitad y son iguales. La igualdad sola no basta: el trapecio isósceles del dibujo es un contraejemplo. Tampoco bastan diagonales perpendiculares para demostrar un rombo: en el deltoide dibujado no se cortan mutuamente por la mitad.

Las mediciones físicas tienen errores. El teorema da un criterio exacto para una forma plana ideal; las desviaciones admisibles de un producto real se especifican aparte.

El trapecio es una rama distinta

Con bases AB∥CD, los ángulos junto a cada lateral suman 180°: ∠A+∠D=180° y ∠B+∠C=180°. Un trapecio isósceles tiene los laterales iguales; también son iguales los ángulos de cada base y las diagonales. Los criterios recíprocos funcionan para un trapecio con exactamente un par de paralelas: diagonales iguales o ángulos iguales en una base implican laterales iguales.

Un trapecio rectángulo tiene un lateral perpendicular a las bases, así que posee dos ángulos rectos. Las condiciones para circunferencias circunscritas e inscritas en cuadriláteros se trataron en G008; no hace falta introducirlas otra vez aquí.