Cuatro orificios deben quedar en una misma circunferencia. O una pieza circular debe tocar cuatro bordes rectos. Ambas tareas relacionan circunferencia y cuadrilátero, pero sus condiciones difieren: la primera comprueba ángulos; la segunda, longitudes.
Un ángulo inscrito mide la mitad del arco que no contiene su vértice. Un cuadrilátero convexo tiene una circunferencia por sus vértices si y solo si sus ángulos opuestos suman 180°; tiene una circunferencia interior tangente a todos sus lados si y solo si las sumas de lados opuestos son iguales. Se necesitan ángulos del triángulo y circunferencia y tangente.
Una cuerda delimita dos arcos
El ángulo con vértice en el centro O es central. Los radios OA y OB delimitan dos regiones angulares y dos arcos. Una circunferencia completa mide 360°; si un arco menor mide 120°, el mayor mide 240°. Es la medida angular del arco, no su longitud.
Un ángulo inscrito tiene el vértice P en la circunferencia y sus lados pasan por otros dos puntos A y B. Elegimos el arco AB sin P. Si mide θ:
∠APB = (θ)/(2).
El arco de 120° da 60°; el de 240° da 120°. En el segundo caso usamos el ángulo central correspondiente, mayor que 180°, sin elegir automáticamente el menor entre los radios. Euclides III.20.
Arco de 120° → ángulo inscrito de 60°
Arco de 240° → ángulo inscrito de 120°
Cuatro vértices en una circunferencia
Circunferencia interior, lados tangentes
El factor dos procede de triángulos isósceles: unimos O con el vértice del ángulo inscrito y obtenemos radios iguales y ángulos iguales en la base. Un ángulo exterior de ese triángulo suma dos ángulos iguales. Según la posición del centro sumamos o restamos las partes; la relación de mitad se conserva.
Los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales. Pero a distintos lados de una misma cuerda pueden medir 60° y 120°: abarcan arcos diferentes. El que abarca una semicircunferencia de 180° es recto. Euclides III.21.
Cuatro vértices en una circunferencia
Consideramos cuadriláteros convexos, sin autointersecciones ni ángulos interiores de 180° o más. ABCD es inscrito, o cíclico, si sus cuatro vértices están en una circunferencia en ese orden.
Los ángulos opuestos A y C abarcan dos arcos que completan la circunferencia. Su suma es la mitad de 360°:
∠A + ∠C = 180°.
También ∠B+∠D=180°. Es una propiedad necesaria. El recíproco es verdadero: si los ángulos opuestos de un cuadrilátero convexo dado suman 180°, existe una circunferencia por sus vértices. Es, por tanto, un criterio suficiente. Euclides III.22, criterio recíproco de AMSI.
Por ejemplo, los ángulos opuestos de 100° y 80° pasan la prueba. Dos ángulos iguales sin precisar su posición no bastan.
Una circunferencia toca cuatro lados
Un cuadrilátero es circunscrito a una circunferencia cuando esta queda dentro y cada lado es tangente a ella. Los contactos pertenecen a los segmentos de los lados, no a sus prolongaciones.
Dos segmentos tangentes desde un mismo punto exterior son iguales: los radios a los puntos de tangencia son perpendiculares, y los triángulos rectángulos resultantes comparten la hipotenusa del punto al centro y tienen radios-cateto iguales. Son congruentes por el criterio hipotenusa-cateto y los segmentos tangentes miden lo mismo.
Cada lado contiene dos de esos segmentos desde vértices vecinos. Cada suma de lados opuestos cuenta una vez las cuatro longitudes tangentes. Si a,b,c,d son los lados consecutivos:
a + c = b + d.
Es una condición necesaria. Para un cuadrilátero convexo dado también es suficiente, pero el recíproco es un teorema aparte, no una consecuencia de reagrupar sumandos. AMSI, teorema de Pitot en Mathematical Gazette.
No confundamos las pruebas: 180° se refiere a vértices en una circunferencia; las sumas de longitudes iguales, a lados tangentes a una circunferencia. Aunque se cumplan ambas propiedades, la circunferencia inscrita y la circunscrita son objetos distintos.