Una parcela circular exige dos compras distintas: borde para su contorno y revestimiento para su interior. Ambos números pueden contener π, pero uno se expresa en metros y otro en metros cuadrados. ¿Cómo evitamos confundirlos?
La circunferencia es el contorno; el círculo incluye el interior y el contorno. Un arco tiene longitud; sectores y segmentos tienen área. Sus fórmulas dependen de la fracción de vuelta completa. Usamos radios y cuerdas, ángulos centrales y la descomposición de áreas.
Por qué aparece pi en ambas fórmulas
Al ampliar una circunferencia ideal por k, el diámetro d y su longitud C se multiplican por k. El cociente C/d no cambia. Ese número común se llama π:
π = (C)/(d), C = 2πr, d = 2r.
π≈3,14159. Tanto 3,14 como 22/7 son aproximaciones. Rodear una lata con hilo permite estimar el cociente, pero la tensión, el grosor del hilo y la forma del objeto introducen errores. Ese experimento no demuestra que pi sea irracional. AMSI, longitud de circunferencia.
El área del círculo S=πr² también se relaciona con la longitud de su contorno. Circunscribimos un polígono regular de n lados. Cada triángulo central tiene altura r, luego el área total es Sₙ=Pₙr/2. Cuando el número de lados crece sin límite, Pₙ se aproxima a C y Sₙ al área del círculo. Resulta S=Cr/2=πr². Es un paso al límite; ningún polígono finito se convierte ya en círculo.
Un arco, tres objetos
Dos radios delimitan un sector, limitado por ambos radios y el arco. Una cuerda y el mismo arco delimitan un segmento circular. Para un ángulo central menor de 180°, el sector contiene el triángulo entre radios y cuerda; el segmento menor lo excluye.
Arco: longitud
Sector: área
Segmento: área
Sea α el ángulo central en grados, 0≤α≤360°. La fracción de vuelta es f=α/360°. La longitud del arco es ℓ=f·2πr y el área del sector S=f·πr². Comparten fracción, pero una escala como r y la otra como r².
Para r=3 m y α=120° tomamos un tercio de vuelta. El arco mide ℓ=2π≈6,283 m y el sector tiene área S=3π≈9,425 m². Para cercar todo el sector añadimos dos radios: P=2π+6≈12,283 m. El arco por sí solo omite los lados rectos.
Los radianes eliminan un factor
La medida en radianes θ es la longitud del arco dividida por el radio: θ=ℓ/r. Un radián corresponde a un arco de longitud r. Como la circunferencia completa mide 2πr, una vuelta son 2π radianes y 180° son π radianes.
θ = (α)/(180°)π, ℓ = rθ, S_(sector) = (1)/(2)(r)^(2)θ.
Las dos últimas fórmulas requieren θ en radianes. Nuestros 120° equivalen a 2π/3 radianes. Sustituir 120 en lugar de 2π/3 produciría otro arco. También revisamos DEG/RAD al calcular senos. OpenStax, radianes y sectores.
Segmento: restar el triángulo
Para un segmento menor con 0<θ≤π, restamos del sector el triángulo de lados r,r y ángulo comprendido θ. Su área es r²sinθ/2 según G018. Así:
S_(segmento) = ((r)^(2))/(2)(θ − sinθ).
Aquí θ y el argumento del seno se expresan en radianes. Para r=3,θ=2π/3, el triángulo tiene área 9√3/4≈3,897 y el segmento 3π−9√3/4≈5,528 m². Es menor que el sector: una comprobación esperada. La cuerda mide 2r sin(θ/2)=3√3; el contorno completo del segmento es arco más cuerda, no dos radios. AMSI, sectores y segmentos.
La otra parte del círculoOpcional · puedes omitirlo
Cómo obtener el segmento mayor
La misma cuerda también delimita un segmento mayor. Su área es el área del círculo menos la del segmento menor: 9π−(3π−9√3/4)=6π+9√3/4≈22,747 m². Contiene el sector mayor de 240° junto con el triángulo pequeño, por lo que aquí sumamos el área triangular.
La fórmula única r²(θ−sinθ)/2 también vale para π<θ<2π si θ describe el arco mayor: sinθ es negativo y la resta se convierte en suma. No sustituimos el seno con signo por un área triangular positiva.
Escala y presupuesto
Con el mismo ángulo, duplicar el radio duplica arco, cuerda y perímetro; las áreas del sector y del segmento se cuadruplican. No podemos sumar metros de borde y metros cuadrados de revestimiento. Primero identificamos el contorno o la región, calculamos con π y redondeamos al final. La reserva de material es una decisión aparte, no un término oculto de la fórmula geométrica.