Un punto del borde de una rueda gira 60°. ¿Cómo hallar sus coordenadas? Seno y coseno convierten el giro en coordenadas, incluso tras vueltas completas. Usamos funciones y potencias y raíces.

Medir el giro

Partimos de la dirección horizontal positiva. El sentido antihorario es positivo; el horario, negativo. Una vuelta devuelve el punto pero añade 360°. π es la circunferencia dividida por el diámetro. Un radián es longitud de arco s dividida por radio R:

θ = (s)/(R), s = Rθ; (360)^(∘) = 2π rad, (180)^(∘) = π rad.

A 1 radián el arco iguala el radio. El radián es adimensional, pero rad lo distingue de grados. La fórmula del arco necesita θ en radianes.

Giro y coordenadas

x²+y²=1

-101-11θPxy
Círculo y proyecciones para θ=π/3, P=(1/2,√3/2). Escalas iguales, longitudes en radios. El arco θ empieza a la derecha y gira antihorario.

Cuatro funciones desde dos coordenadas

En un círculo de radio 1 centrado en (0,0):

P = (cos⁡θ,sin⁡θ); tan⁡θ = (sin⁡θ)/(cos⁡θ), cot⁡θ = (cos⁡θ)/(sin⁡θ).

Seno es coordenada vertical; coseno, horizontal. Ambos existen para todo ángulo real y están en [−1,1]. En I ambos son positivos; en II cos es negativo, en III ambos negativos y en IV sin negativo.

Tangente no existe para θ=π/2+kπ; cotangente, para θ=kπ, con k entero: el denominador correspondiente es cero. OpenStax

Conexión con el triángulo

Para un ángulo agudo, las proyecciones del radio forman un triángulo rectángulo: sin=opuesto/hipotenusa, cos=adyacente/hipotenusa. En otros cuadrantes las coordenadas pueden ser negativas; las longitudes no.

θ = π/3: P = (1/2,√(3)/2), tan⁡θ = √(3), cot⁡θ = 1/√(3).

Para R=2 m, el punto es (1,√3) m y el arco 2π/3 m. θ+2πk comparte sin/cos. Comprueba DEG/RAD: el número 60 sin unidad no determina un giro.