¿En qué fracción de cada ciclo de seis horas 10+2sin(πt/3) supera 11? La desigualdad elige arcos e intervalos temporales, no solo cruces. Usamos intervalos, sinusoides y ecuaciones.
10 + 2sin(πt/3) > 11 ⟺ sinθ > 1/2, θ = πt/3.
En el círculo unidad sinθ es altura. y=1/2 corta en π/6 y 5π/6; el arco superior abierto queda encima. Los ángulos son radianes y k cualquier entero.
π/6 + 2πk < θ < 5π/6 + 2πk; 1/2 + 6k < t < 5/2 + 6k.
Arco abierto sinθ>1/2
x²+y²=1
Tiempo sobre el umbral
y=10+2sin(πt/3); -- y=11
Son 2 de cada 6 horas, un tercio. En 0≤t≤12, la respuesta es (0,5;2,5)∪(6,5;8,5) horas. Es una señal continua hipotética, no muestras medidas. Para ≥ entrarían los extremos; para > valen exactamente 11 y quedan fuera. OpenStax
Las discontinuidades también delimitan
tanθ > 1 ⟺ π/4 + πk < θ < π/2 + πk.
El extremo derecho se excluye porque tan no existe en π/2+πk, no solo por el signo estricto. Resuelve una rama y repite cada π.
Extra: intersecar condiciones
sinθ ≥ 1/2, cosθ > 0 ⟺ π/6 + 2πk ≤ θ < π/2 + 2πk.
El inicio entra por ≥; el final se excluye porque cosθ=0. Un sistema significa «y»: intersección, no unión.
Extra: sustitución con valor aislado
2(sin)^(2)θ − sinθ − 1 ≥ 0; u = sinθ ∈ [ − 1,1].
(2u + 1)(u − 1) ≥ 0 ⟺ u ∈ [ − 1, − 1/2]∪{1}.
En una vuelta:
θ ∈ [7π/6,11π/6]∪{π/2} (0 ≤ θ < 2π).
Repite ambas partes cada 2π. El punto aislado π/2 es una solución verdadera de la desigualdad no estricta. Comprueba dominio, período y extremos antes de volver del ángulo al tiempo.
La sustitución inversa x=sin t simplifica radicales. Para −1≤x≤1 elegimos −π/2≤t≤π/2: la correspondencia es uno a uno, cos t≥0 y √(1−x²)=cos t. Así √(1−x²)>x se vuelve cos t>sin t, es decir t<π/4 en ese intervalo; respuesta −1≤x<√2/2. Incluye el extremo izquierdo y excluye el derecho. Hay que controlar dominio y regreso; no permite escribir siempre √(cos²t)=cos t.