¿Cuándo supera un modelo decreciente el umbral: antes o después del cruce? El mismo signo da sentidos temporales opuestos para crecimiento y decaimiento. Usamos funciones exponenciales, desigualdades, logaritmos y ecuaciones.
(2)^(t) ≥ 8 ⟺ t ≥ 3; (1/2)^(t) ≥ 1/8 ⟺ t ≤ 3.
Para a>1, aˣ crece y conserva el orden de exponentes. Para 0<a<1 decrece e invierte el orden. La base es positiva: la causa es la monotonía, no multiplicar por un negativo. Si t es tiempo tras empezar, añadimos t≥0: [3,∞) y [0,3].
Crecimiento
2ᵗ≥8
Decaimiento
2⁻ᵗ≥1/8
Dominio antes de comparar logaritmos
logₐx tiene la misma monotonía según la base. Primero x−1>0; después comparamos con (1/2)^( − 2) = 4:
(log)_(1/2)(x − 1) > − 2 ⟺ 0 < x − 1 < 4 ⟺ 1 < x < 5.
x=1 no está definido; x=5 da igualdad, excluida por el signo estricto. OpenStax
«Y» significa intersección
(2)^(t) ≥ 4, (1/2)^(t) > 1/16 ⟺ 2 ≤ t < 4.
t=2 da igualdad permitida en la primera condición; t=4 da igualdad prohibida en la segunda. No tomes la unión.
Sustituir y volver
(4)^(t) − 5 ⋅ (2)^(t) + 4 ≤ 0; u = (2)^(t) > 0; (u − 1)(u − 4) ≤ 0 ⟺ 1 ≤ u ≤ 4 ⟺ 0 ≤ t ≤ 2.
Los factores dan el intervalo de u y el crecimiento de 2ᵗ devuelve el de t. Interseca con el dominio original. Aquí se excluyen la base 1 y las no positivas.