Necesitamos una segunda pieza triangular de exactamente la misma forma y tamaño. ¿Hay que medir los tres lados y los tres ángulos? No: algunos conjuntos de tres medidas bastan. Pero «algunos» es la palabra decisiva.
Dos triángulos son congruentes si podemos hacerlos coincidir completamente sin cambiar su tamaño. Los tres criterios principales son dos lados y el ángulo comprendido, un lado y sus dos ángulos adyacentes, o los tres lados. El requisito previo es lados y ángulos del triángulo.
Primero hacemos corresponder los vértices
Podemos trasladar, girar y reflejar la figura. La igualdad de áreas o perímetros no basta. ΔABC≅ΔDEF establece A↔D, B↔E, C↔F. Por tanto, AB corresponde a DE, BC a EF y AC a DF. Esas son las parejas que debemos comparar.
Una vez establecida la congruencia, son iguales todos los lados y ángulos correspondientes, no solo las tres medidas comprobadas.
Tres conjuntos que fijan un triángulo
LAL (SAS): dos lados y el ángulo comprendido. Si AB = DE, AC = DF y ∠A = ∠D, los triángulos son congruentes. Imaginemos hacer coincidir A con D y AB con DE. El ángulo fija la dirección del segundo lado y su longitud fija el tercer vértice. Ya no puede deslizarse libremente. «Comprendido» no se puede omitir. Euclides I.4.
ALA (ASA): un lado y sus ángulos adyacentes. Hacemos coincidir el lado dado; los dos ángulos determinan semirrectas desde sus extremos. Su intersección fija el tercer vértice. Los ángulos deben ser positivos y sumar menos de 180°. Si conocemos otros dos ángulos correspondientes y un lado, calculamos el tercero mediante la suma de 180° y reducimos a este caso. Euclides I.26.
LLL (SSS): tres lados. Si las tres parejas de longitudes correspondientes son iguales, los triángulos son congruentes. Con una base fija, las otras dos longitudes permiten dos posiciones reflejadas del vértice; dan triángulos congruentes, no formas distintas. Deben cumplirse las desigualdades estrictas de la lección anterior. Euclides I.8.
LAL · dos lados y su ángulo incluido
ALA · un lado y ángulos adyacentes
LLL · tres lados
LLA · dos posiciones distintas de C
Esto explica la rigidez geométrica de un marco triangular con lados de longitud fija: sus ángulos no pueden cambiar conservando las tres longitudes. El modelo no calcula la resistencia de materiales reales ni de uniones bajo carga.
Por qué no sirven tres datos cualesquiera
Se dan AB=8, BC=5 y ∠A=30°, con longitudes en una misma unidad elegida. El ángulo A no está comprendido entre los lados dados: estos se encuentran en B. En el esquema hay dos posiciones posibles de C sobre la misma semirrecta. Ambas están a 5 unidades de B, pero las longitudes AC difieren. «Dos lados y cualquier ángulo» no es, por tanto, un criterio general. Es el caso ambiguo LLA (SSA). Comentario a I.26.
Tres ángulos tampoco fijan el tamaño: podemos duplicar todo el triángulo conservando los ángulos y duplicando sus longitudes. Las figuras resultantes no son congruentes.
Qué añade el ángulo recto
Los dos lados adyacentes al ángulo recto son los catetos; el opuesto es la hipotenusa. Es el mayor porque se opone al ángulo mayor.
Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus catetos correspondientes son iguales: ya conocemos el ángulo comprendido de 90°, por lo que se aplica LAL. También bastan un cateto y un ángulo agudo correspondiente, o una hipotenusa y un ángulo agudo correspondiente: el otro agudo completa 90° y podemos usar dos ángulos y un lado.
Otro criterio establece que hipotenusas iguales y un par de catetos correspondientes iguales también garantizan la congruencia. Ambos triángulos deben ser rectángulos; sin esa condición reaparece la ambigüedad de dos lados y un ángulo. Caso especial en el comentario a Euclides I.26.
Para copiar una pieza, anotemos a qué vértices corresponden los elementos medidos y nombremos el criterio concreto. Eso permite determinar justificadamente las medidas restantes.