Tam aynı şekil ve ölçüde ekinci üçköşe parça kerek. Üç tarafnı ve üç köşeniñ episini ölçemek şart mı? Yoq: üç miqdardan ibaret bazı topluqlar yeterli. Amma «bazı» sözü müimdir.
Eki üçköşelik ölçüsini deñiştirmeden tam üst-üste ketirilse, teñ, yani kongruenttir. Üç esas alâmet: eki taraf ve aralarındaki köşe; bir taraf ve oña bitişik eki köşe; ya da üç taraf. Evel üçköşelikniñ tarafları ve köşeleri kerek.
Evvel töpelerni uyğunlaştıramız
Şekilni köçürmek, çevirmek ve ayna aksini almaq mümkün. Yalnız meydan ya da perimetrniñ teñligi yeterli degil. ΔABC≅ΔDEF yazısı A↔D, B↔E, C↔F uyğunlığını bere. Demek, AB-ge DE, BC-ge EF, AC-ge DF uyğun. Şu çiftlerni qıyaslamaq kerek.
Teñlik belgilenenden soñ yalnız teşkerilgen üç miqdar degil, bütün uyğun taraflar ve köşeler teñdir.
Üçköşelikni belgilegen üç topluq
SAS: eki taraf ve aralarındaki köşe. Eger AB = DE, AC = DF ve ∠A = ∠D olsa, üçköşelikler teñdir. A-nı D ile, AB tarafını DE ile üst-üste ketireyik. Köşe ekinci tarafnıñ yönelişini, uzunlığı ise üçünci töpeniñ yerini belgiley. O artıq serbest sıyğalmay. «Aralarındaki» sözini alıp taşlamaq olmaz. Evklid I.4.
ASA: taraf ve oña bitişik eki köşe. Berilgen tarafnı üst-üste ketiremiz; eki köşe onıñ uçlarından çıqqan eki şavleni belgiley. Kesişüvleri üçünci töpeni belgiley. Müsbet köşelerniñ toplamı 180°-den kiçik olmalı. Başqa eki uyğun köşe ve taraf belli olsa, 180° toplamından üçünci köşeni tapıp, bu alğa ketiremiz. Evklid I.26.
SSS: üç taraf. Üç çift uzunlıq uyğun olaraq teñ olsa, üçköşelikler teñdir. Sabit temelge köre qalğan eki uzunlıq töpeniñ eki ayna yerini mümkün ete; olar şekilce farqlı degil, teñ üçköşeliklerni bereler. Evvelki dersteki qatı teñsizlikler yerine kelmeli. Evklid I.8.
SAS · eki taraf ve aralarındaki köşe
ASA · taraf ve bitişik köşeler
SSS · üç taraf
SSA · C-niñ eki farqlı yeri
Bu, taraf uzunlıqları sabit üçköşe çerçiveniñ geometrik sertligini añlata: üç uzunlıqnı saqlap, köşelerni deñiştirmek olmaz. Model kerçek materiallarnıñ ve yük altındaki birleştirmelerniñ sağlamlığını esaplamay.
İhtiyariy üç malümat ne içün yaramay
Bir saylanğan uzunlıq biriminde AB=8, BC=5 ve ∠A=30° berilgen. A köşesi eki berilgen taraf arasında degil: olar B-de birleşeler. Sızmada C-niñ aynı şavle üstünde eki mümkün yeri bar. Er ekisinde B-ge mesafe 5, amma AC uzunlıqları farqlı. Demek, «eki taraf ve er angi köşe» umumiy alâmet degil. Bu — SSA-nıñ eki manalı alı. I.26 izaatı.
Üç köşe de ölçüni belgilemey: bütün üçköşelikni eki qat büyütsek, köşeler saqlana, uzunlıqlar eki qat arta. Bu şekiller kongruent degil.
Doğru köşe ne qoşa
Doğru köşe yanındaki eki taraf — katetler, qarşısındaki taraf — gipotenuza. O eñ büyük köşeniñ qarşısında yatqanı içün eñ uzundır.
Eki doğru köşeli üçköşelikniñ uyğun katetleri teñ olsa yeterli: aralarında 90° artıq berilgen, bu SAS. Katet ve uyğun sivri köşe de, gipotenuza ve uyğun sivri köşe de yeterli: ekinci sivri köşe birincisini 90°-ge tamamlay ve eki köşe ile taraf alâmeti işleye.
Ayrı alâmet: teñ gipotenuzalar ve birer uyğun teñ katet de teñlikni teminley. Eki üçköşelikniñ de doğru köşeli olması şart; bu şartnı alıp taşlasaq, eki taraf ve köşeniñ eki manalılığı qayta. Evklid I.26 izaatındaki hususiy al.
Parçanıñ kopyası içün ölçelgen elementler hangi töpelerge uyğun olğanını yazıñız ve belli bir alâmetni adlandırıñız. Qalğan ölçülerni esaslı belgilemege o izin bere.