Uzunlıqları 2, 3 ve 4 m olğan üç çıta bar. Uçlarını birleştirip üçköşe çerçive yapmaq mümkün mi? Eñ uzun çıta 5 m olsa ne olur? Bir metrlik farq kerçek üçköşelikni bir doğru boyunca yassı yerleşüvden ayıra.
Üçköşelikni bir doğruda yatmağan üç noqta ve olarnı birleştirgen üç kesik teşkil ete. Er taraf qalğan eki tarafnıñ toplamından qısqa; Evklid düzleminde içki köşeler toplamı 180°-dir. Parallel doğrular ve kesici yanındaki köşeler kerek olur.
Üç taraf qapanır mı
a,b,c müsbet taraf uzunlıqları olsun. Yassılanmağan üçköşelik içün:
a + b > c, a + c > b, b + c > a.
Eki taraf üçünci tarafnıñ uçları arasında sınıq yol teşkil ete; doğru yol qısqadır. Onıñ içün teñsizlikler qatıdır. Eñ uzun taraf belli olsa, yalnız onı teşkermek yeterli: müsbet uzunlıqlarda qalğan eki teñsizlik öz-özünden yerine kele. Bu şartlar üçköşelikniñ barlığı içün de yeterlidir: I.22 qurulışınıñ izaatı. Evklid I.20.
2,3,4 içün 2+3>4, demek çerçive mümkün. 2,3,5 içün teñlik çıqa: qısqa çıtalar eñ uzunı boyunca bir doğruda yata. Bu — yassılanğan al, bizim tarifimizdeki üçköşelik degil. Eñ uzun çıta 5 m-den uzun olsa, olar qapanmaz. Bu geometrik şekilni teşkere, materialnıñ sağlamlığını degil.
2 + 3 > 4: üçköşelik bar
2 + 3 = 5: bir doğruğa yassılanuv
Eki taraf 2 ve 3 m olsa, üçüncisi yalnız 5-ten kiçik degil, farqları 3−2=1 m-den de büyük olmalı:
1 < c < 5.
Eki sıñırda da üçköşelik yassılana. Perimetr üç uzunlıqnıñ toplamıdır; 2,3,4 çerçivesi içün 9 m.
180° qaydan çıqa
A,B,C yanındaki içki köşelerni α,β,γ dep belgileyik. C-den AB-ge parallel doğru keçireyik. İçki çapraz köşeler hususiyetine köre, onda α ve β tekrarlana. Olar γ ile beraber açıq köşe teşkil ete:
α + β + γ = 180°.
Bu, transportirnen ölçemeden er düzlem üçköşeliginiñ toplamını añlata. Meselâ, başqa bir üçköşelikte eki köşe 40° ve 65° olsa, üçüncisine 180°−40°−65°=75° qala. Evklid I.32.
Tışqı köşe tarafnı töpeden öte uzatqanda çıqa. O, içki köşeniñ qoñşu tamamlayıcısıdır, demek 180°-den o içki köşeni çıqarğanğa, yani qalğan eki içki köşeniñ toplamına teñ. İçki köşe 75° olsa, tışqısı 105°=40°+65°.
İsbat Evklid düzlemindeki parallellikni qullana. Büyük çember yayları ile sıñırlanğan küre üstündeki üçköşelikke 180° toplamını keçirmek olmaz. Düzlem modeliniñ sıñırı.
Üçköşelikni adlandırmaqnıñ eki yolu
Taraflarına köre, bütün uzunlıqları farqlı olsa, üçköşelik çeşit taraflı; eñ az eki tarafı teñ olsa, teñ yanlı; üçü de teñ olsa, teñ taraflıdır. Mında içine alğan tarifni qullanamız: teñ taraflı üçköşelik teñ yanlınıñ hususiy alıdır.
Köşelerine köre, bütün köşeleri sivri olsa sivri köşeli, biri 90° olsa doğru köşeli, biri 90°-den büyük olsa küt köşelidir. Eki doğru ya da eki küt köşe olmaz: olar 180°-ni tüketir ya da aşar, müsbet üçünci köşege yer qalmaz.
Taraflar ve köşeler boyunca aynı vaqıtta sınıflaymız: doğru köşeli üçköşelik çeşit taraflı da, teñ yanlı da ola bile. «Çeşit taraflı» adı eñ büyük köşeni öz-özünden belgilemey.
Büyük taraf büyük köşeniñ qarşısında
Bir üçköşelikte büyük tarafnıñ qarşısında büyük köşe yata, tersi de doğrudır. AB tarafınıñ qarşısındaki köşe A ya da B-de degil, C-dedir. Demek, 2,3,4 çerçivesinde eñ büyük köşe 4 m tarafnıñ qarşısındadır. Bu, şimdilik onıñ sayılı ölçüsini bermey. Evklid I.19.
Çerçiveni toplamadan evel uzunlıqlarnı qatı teñsizlikler ile teşkeriñiz. Soñ köşeler toplamı ve «büyük taraf — büyük qarşı köşe» bağı zıddiyetli eskizni farq etmege yardım eter.