Kursnıñ qoşma mevzusı. Esas yolda keçmek mümkün. Summanıñ kvadratı ve arifmetik sıra yeterlidir.
Plitkalardan kvadrat yasaq mümkün: bir plitka, soñ üç, soñ beş qoşula. Matematik induktsiya ilk vaziyetni ve soñrakisine işançlı keçişni isbatlap, er natural adım içün iddianı isbatlay. Yüz misalni teşkermek keçişniñ yerini tutmay.
Neni isbatlaymız?
Mında natural sayılar — bütün n≥1. P(n) iddiamız:
1 + 3 + ⋯ + (2n − 1) = (n)^(2) (n = 1,2,3,…).
Bu ilk n tek sayınıñ summası; soñki qoşulıcı 2n−1. n=3-te: 1+3+5=9.
Esas: başlanğıç bar
n=1-de sol taraf 1, sağ taraf 1²=1. Demek P(1) doğru. Esassız zincirde iç bir tasdiqlanğan alqa olmay bilir.
Faraz: bir ihtiyariy adım
İhtiyariy bütün k≥1 alıp P(k)-ni faraz eteyik:
1 + 3 + ⋯ + (2k − 1) = (k)^(2).
Formula bütün k içün artıq doğru dep aytmaymız. Şartlı bağnı isbatlaymız: şu adımda doğru olsa, soñrakisinde de doğru.
Keçiş: soñraki tek sayını qoşamız
2k−1-den soñ 2k+1 kele. Farazğa köre evvelki summanı k² ile deñiştirip, summa kvadratı qaidesini qullanamız:
1 + 3 + ⋯ + (2k − 1) + (2k + 1) = (k)^(2) + 2k + 1 = ((k + 1))^(2).
Bu tam P(k+1). Esap er k≥1 içün keçerli. Esas ve keçiş induktsiyağa köre bütün n≥1 içün P(n)-ni bere. Prinsip ve esaslav, MIT, s. 3.
3²-den 4²-ge
Resim 3²+7=4²-ni köstere: yañı kenarda 3+3+1 plitka. O 2k+1 qoşulıcını añlata; umumiylikni yuqarıdaki ihtiyariy k isbatı bere.
«İsbatnı» nasıl bozmaq mümkün?
Yanlış iddia: bütün müsbet bütün sayılar tek. Esas: 1 tek. k tek olsa, k+2 de tek. Niçün bu isbat degil? Adım sayılarnı atlay: esastan 1,3,5,…-ke baramız, 2-ge iç baramaymız. 2 — qarşı misal.
Ardışıq yolğa tam k→k+1 kerek. +2 adımı bütün sayılarnı tek eki paritet içün ayrı uyğun esaslar ile qaplay bilir; mında 2 esası artıq yanlış. Keçişte P(k+1)-ni belli dep qullanmaq da olmaz: bu daireli isbat olur.
Azır isbatta belgili oblastnı, oña ait esasnı, tek P(k) farazını, isbatlanmağan qoşma şartsız soñraki adımğa keçişni ve induktsiya neticesini teşkeriñiz.