Kvadrat teñlemeler: diskriminant ve Viyet formulları

Tikköşe yerniñ perimetri 28 m, meydanı 40 m². Tarafları ne? Qoñşı taraflar toplamı 14 m. Biri $x$ m olsa, ekincisi $(14-x)$ m, demek $x(14-x)=40$ . Taraflar 4 m ve 10 m; eki kök aynı tikköşelikni taraf adları deñişken alda tasvir ete.

Çarpanlar, kvadrat kökler ve teñküçlü keçişler kerek. $x$ uzunlıqnıñ metrlerdeki sayısal qıymeti, şunıñ içün $0<x<14$ ; uzunlıqlar çarpımı m² birimindedir.

Tam kvadratnı körmek

Qavuslarnı açıp işaretni deñiştirsek, $x^2-14x+40=0$ . $7^2=49$ qoşıp çıqaramız:

x^2-14x+40=(x-7)^2-9.

Bu tam kvadratnı ayırmaq: orta −14x azası koeffitsiyentniñ yarısı −7-ni köstere. $(x-7)^2=9$ , demek $x-7=3$ ya da $x-7=-3$ . $x=10$ ya da $x=4$ , ekisi de mümkün. Teşkerüv: $2(4+10)=28$ m ve $4\cdot10=40$ m².

Aynı qurulış umumiy formulnı bere

Kvadrat teñleme $ax^2+bx+c=0$ şeklindedir; koeffitsiyentler aqiqiy, $a\ne0$ . $a=0$ olsa, al sızıqlı ya da sıñır alıdır.

Sıfır olmağan $4a$ -ğa çarpıp kvadratnı tolduramız:

4a^2x^2+4abx+4ac=0,

(2ax+b)^2=b^2-4ac.

$D=b^2-4ac$ sayısı — diskriminant. $D\ge0$ olsa, $2ax+b=\pm\sqrt D$ , demek:

x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}.

$\pm$ artı ve eksi ile eki esap demektir; $D=0$ içün olar birdey. Payda bütün $2a$ , bütün pay oña bölünmeli. OpenStax §2.5-te kvadrat teñleme usulları.

Yer içün $a=1,b=-14,c=40$ : $D=196-160=36$ . Demek, $x=(14\pm6)/2$ , yani 10 ve 4. $(-14)^2$ qavusları koeffitsiyent işaretini qorçalay.

D işareti kök sayısını neden belgiley

$(2ax+b)^2$ kvadratı menfiy olalmaz. $D<0$ olsa, aqiqiy kök yoq. $D=0$ olsa, bir kök $-b/(2a)$ bar; oña çift kök de deyler. $D>0$ olsa, eki farqlı aqiqiy kök bar.

$y=ax^2+bx+c$ grafiginde er noqta belli $x$ içün ifade qıymetini köstere. Bu grafik parabola dep adlandırıla. Kökler — $y=0$ olğan $x$ -ler: parabola ufqi köçerni kese, oña toquna ya da ortaq noqtası olmaz.

Tam: y=x²−1, D=4, kökler −1 ve 1. Üzük: y=x², D=0, kök 0. Noqtalı: y=x²+1, D=−4, aqiqiy kök yoq. Miqyaslar birdey adımlı, eki köçer birimleri şartlı.

Er mesele tam formul talap etmey

$b=0$ ya da $c=0$ olsa, teñleme tam degil. $x^2-9=0$ deral $x=\pm3$ bere. $x^2-3x=0$ -da $x$ -ni çıqaramız: $x(x-3)=0$ , demek $x=0$ ya da 3. $x$ -ke bölmek sıfırnı yoğaltır edi. $a\ne0$ olsa, $ax^2=0$ yalñız $x=0$ -ğa malik.

Viyet: kökler koeffitsiyentlerde körüne

Aqiqiy $x_1,x_2$ kökleri bar olsa, çift kökni eki kere esaplap, Viyet formulları bere:

x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca.

Formuldaki köklerni toplasaq $-b/a$ , çarpsaq $(b^2-D)/(4a^2)=c/a$ alamız. Sebep $a(x-x_1)(x-x_2)$ ayıruvında körüne: qavuslarnı açsaq, $x$ koeffitsiyenti $-a(x_1+x_2)$ , sabit aza $ax_1x_2$ . Tersine, kerek toplam ve çarpımlı sayılar başlanğıç üçazalını qaytara. Yer içün $4+10=14$ , $4\cdot10=40$ , demek $x^2-14x+40=(x-4)(x-10)$ .

Cebir kökü daa vaziyetke köre teşkerilmeli. Aynı meydan içün uzunlıq kenişlikten 6 m ziyade desek, $x^2+6x-40=0$ çıqa. Kökler 4 ve −10, amma menfiy kenişlik uyğun degil: 4 m ve 10 m qala.

Tarmaq · AçıqlavCedvelde gizlenebilecek qoşma şart.

Sıfır diskriminant ratsional kök demek degil

Er türlü aqiqiy koeffitsiyentlerde $D=0$ bir aqiqiy kökni garantiya ete, amma ratsional olmasını degil. $x^2-2\sqrt2\,x+2=0$ -da diskriminant sıfır, kök ise $\sqrt2$ . Ratsionallıq neticesi içün koeffitsiyentlerniñ ratsional olması aqqında qoşma faraz kerek.

Kök formulı yer meselesini çezgen aynı kvadrat tolduruvdan çıqa. Diskriminant aqiqiy kökniñ mümkünligini, Viyet toplam ve çarpımnı, mesele şartları ise tapılğan miqdarlarnıñ mümkünligini teşkere.