Marşrutnıñ eki kesigini keçtiñiz. Yol uzunlığı olarnıñ uzunlıqları cemi, amma soñki noqta başlanğıçqa daa yaqın ola bile. Er adımnıñ em uzunlığını, em yönelişini angi yazılış saqlay?
Vektor yerleşüvniñ yöneltilgen deñişüvini tasvirley. Vektorlar koordinatalar boyunca qoşula; cemniñ modulı sınıq yol uzunlığı degil, başlanğıç ve soñ arasındaki mesafe. Skalyar çarpım uzunlıqlarnı köşe ile bağlağan sayı bere. Koordinatalar ve sinus-kosinus kerek.
Noqta, oqlu kesik ve uzunlıq
A(x;y) noqtası — yerleşüv. Yöneltilgen AB kesigi A-dan B-ge vektornı körsete. Bu vektornı u dep belgileymiz. Koordinataları «soñ minus başlanğıç»:
u = (x_(B) − x_(A); y_(B) − y_(A)).
Serbest vektorlarnı baqamız: uzunlığı ve yönelişi aynı oqlu kesikler, başlanğıçları başqa olsa da, teñ. Olarnı çevirmeden parallel köçüremiz. Yalnız uzunlıqnıñ teñligi vektorlar teñligini bermey. OpenStax, tarif ve koordinatalar.
u=(uₓ;uᵧ) içün |u|=√(uₓ²+uᵧ²) modulı — menfiy olmağan sayı, vektor degil. Sıfır vektor 0=(0;0) modulı 0 ve belgili yönelişi yoq. Meselâ, (1;2) ve (5;3) noqtaları (4;1) vektorını bere; √17 — onıñ uzunlığı.
Eki köçüv: parallelogram neden çalışa
Öz misalimiz metrde: u=(4;1),v=(−1;3). Birinci adım 4 sağğa ve 1 yuqarı; ekinci 1 solğa ve 3 yuqarı. Netice:
u + v = (4 − 1; 1 + 3) = (3;4), ∣u + v∣ = 5.
Üçköşelik qaidesinde v-niñ başlanğıcını u-nıñ soñuna qoyamız. Cem birinci oquñ başlanğıcından ekincisiniñ soñuna bara. Eki vektornı ortaq başlanğıçtan sızsaq, kollinear olmağan vektorlar içün parallelogram diagonalı aynı cemni bere. Qoşuv sırası neticeni deñiştirmey: u+v=v+u.
Cem: üçköşelik ve parallelogram
v soñundan u soñuna farq
b-niñ a-ğa proektsiyası
Keçilgen yol √17+√10≈7,285 m, köçüv modulı ise 5 m. Sualler başqa, şunıñ içün sayılarda zıddiyet yoq. Kollinear adımlarda da üçköşelik qaidesi doğru, amma parallelogram yassılana.
Farq ve sayı ile çarpmaq
v-ni çıqarmaq −v qarşı vektorını qoşmaq demek: u−v=(4−(−1);1−3)=(5;−2). Başlanğıç ortaq olsa, v-niñ soñundan u-nıñ soñuna barğan oq u−v-ni körsete. Ters oq — v−u.
λ sayısı içün λu=(λuₓ;λuᵧ), |λu|=|λ|·|u|. λ>0-da sıfır olmağan vektor yönelişini saqlay; λ<0-da qarşığa çevirile. λ=0-da sıfır vektor çıqa, yönelişi yoq. Hususan −2u=(−8;−2), u-dan eki kere uzun ve qarşı yönelişte.
Eki sıfır olmağan vektor bir-biriniñ sayılı çarpanı olsa kollinear, meselâ (4;1) ve (−8;−2). Mümkün sıfırğa bölmeden teşkerüv: uₓvᵧ−uᵧvₓ=0. Sıfır vektornı añlaşuvğa köre er vektorğa kollinear sayamız; bu oña yöneliş bermey.
Skalyar çarpım: oq yerine sayı
Ortonormal koordinatalarda tarif etemiz:
u ⋅ v = u_(x)v_(x) + u_(y)v_(y) = ∣u∣ ∣v∣cosφ.
Soñki teñlik koordinatalarnı sıfır olmağan vektorlar arasındaki 0°-tan 180°-qa qadar φ köşesi ile bağlay. Misalimizde u·v=4·(−1)+1·3=−1. Demek cosφ=−1/√170,φ≈94,40°: biraz küt. Musbet çarpım 0°≤φ<90°, menfiy çarpım 90°<φ≤180° demek. Sıfır olmağan vektorlar içün sıfır çarpım perpendikulyarlıq demek.
u·u=|u|² menfiy degil, amma u·v menfiy ola bile. «Skalyar» sözü müim: bu λu ya da u+v-den farqlı olaraq sayı. Paul Dawkins, skalyar çarpım.
Proektsiya: a boyunca ne qadar
Başqa çift alamız: a=(4;0),b=(2;3). b soñundan a boyunca doğruğa perpendikulyar tüşüremiz. b-niñ a yönelişine işaretli skalyar proektsiyası b·a/|a|=8/4=2. Vektor proektsiyası (b·a/|a|²)a=(2;0). Birincisi sayı, ekincisi vektor.
a≠0 olsa, bu formulalar küt köşede de doğru: skalyar proektsiya menfiy, vektor proektsiyası a-ğa qarşı. Perpendikulyarlıqta ekisi de sıfır. Sıfır vektorğa böyle proektsiya tapılmaz: mahrec 0, yöneliş belgilenmegen.
Evvelki geometriya ile bağİhtiyariy · keçmek mümkün
Skalyar çarpımda kosinus neden çıqa
u,v-ni ortaq başlanğıçtan sızamız. Kosinuslar teoreması |u−v|²=|u|²+|v|²−2|u||v|cosφ bere. Aynı sol tarafnı koordinatalar ile açsaq, |u|²+|v|²−2(uₓvₓ+uᵧvᵧ) çıqa. Teñeştirmek kerek teñlikni bere. Kollinear sıfır olmağan vektorlar içün teñlik φ=0° ya da 180°-ta doğrudan teşkerile. Sıfır vektor içün koordinata çarpımı bar ve 0-ğa teñ, amma köşe belgilemeymiz.
Esaptan evvel obyektni adlandıramız: noqta, köçüv, uzunlıq ya da proektsiya. Cevapnıñ türü — koordinata çifti ya da bir sayı — teşkerüvniñ bir parçası ola.