Başqa yükseklikteki eki tiren bir-birine toqunmay. Fotoğrafta yönelişleri atta kesişken kibi körüne bile. Olar parallelmi? Tüzlemde eki ayrı doğru kesişmese yeterli edi; fezada başqa şart da kerek.
Fezada eki ayrı doğru ortaq tüzlemde yatıp kesişmese parallel ola. Ortaq tüzlem olmasa, doğrular çaprazdır. Yassı sızmanıñ özü bunı belgilemey: feza şekli aqqında malümat kerek. Aksioma ve isbatqa, parallel doğrularğa ve parallelogramlarğa qaytamız.
Tüzlem sızılğan kenarda bitmey
Noqta, doğru ve tüzlem — feza geometriyasınıñ esas obyektleri. Tüzlem tegiz, sıñırsız ve qalınlıqsız. Sızılğan parallelogram onıñ yalnız bir parçasını körsete, dört aqiqiy kenarını degil. Kub qırışı da kesiktir; AB doğrusı bu kesikniñ eki soñundan da devam ete.
Evklid modelinde bu başlanğıç şartlarğa tayanamız:
- Bir doğru üstünde yatmağan üç noqta bir ve yalnız bir tüzlemni belgiley.
- Doğrunıñ eki ayrı noqtası tüzlemde olsa, bütün doğru o tüzlemdedir.
- Ortaq noqtası bar eki ayrı tüzlem o noqtadan keçken bir doğru boyunca kesişe.
- Er tüzlemde ve onıñ tışında noqtalar bar.
Bular model aksiomaları, sızmamıznı ölçev neticeleri degil. Masa üstü añlamağa yardım ete, amma onıñ kenarı ve qalınlığı ideal tüzlemge ait degil. AMSI, noqta, doğru ve tüzlem.
Bir tek tüzlemni nasıl belgilemeli
Bir doğru üstündeki üç noqta yeterli degil: bu doğru etrafında soñsuz çoq tüzlem çevirmek mümkün. Amma üç kollinear olmağan noqta, doğru ve ondan tış bir noqta, eki kesişken doğru ya da eki ayrı parallel doğru tüzlemni birmanalı belgiley.
Meselâ, AB doğrusında A,B, ondan tış C alamız. Birinci aksioma A,B,C-den keçken tek tüzlemni bere; ekinci aksioma bütün AB-ni oña kirsete. Qısqa isbat usulnı añlata, ayrı bir bağsız qaide qoşmay.
Ayrı doğrular içün üç al
ABCDA₁B₁C₁D₁ kubını qullanamız. A,B,C,D aşağı yüz etrafında sıra ile bara; er yuqarı töpe uyğun aşağı töpe üstünde. Yüzler kvadrat, şunıñ içün qarşı tarafları parallel.
Parallel AB ve CD
B-de kesişüv
Çapraz AB ve CC₁
Doğrular ve α, β tüzlemleri
AB ve CD aşağı yüz tüzleminde yatıp kesişmey — parallel. AB ve BC ortaq B-ge saip — kesişe. AB ve CC₁-niñ ortaq tüzlemi yoq — çapraz. Aynı doğrunı eki ad ile adlandırmaq ayrı bir al; bu üç al ayrı doğrular içün. Purdue, doğrularnıñ yerleşüvi.
AB ve CC₁ neden ortaq tüzlemde olalmaz? Böyle tüzlem AB ve C-ni içerir edi, demek aşağı ABC tüzlemi ile aynı olur edi. O zaman aşağı tüzlemden tış C₁ de oña ait olmalı: zıddiyet. Tüzlemniñ tek olması isbatnı bere; sızmanıñ körünişi yeterli degil.
Doğru ve tüzlem: iç bir noqta, bir noqta ya da episi
Yuqarı tüzlem α, aşağı β olsun. AB β-da yata. AA₁ β-nı yalnız A-da kese. AB-niñ α ile ortaq noqtası yoq, demek AB α-ğa parallel. Mında tüzlemde yatqan doğrunı o tüzlemge parallel dep adlandırmaymız.
Alâmet: l α-da yatmasa ve α-daki bir m doğrusına parallel olsa, l∥α. Kubta AB∥A₁B₁, A₁B₁ ise α-da. «l α-da yatmay» şartı zarur: tüzlemniñ özünde de parallel doğrular bar, amma bütün noqtaları tüzlemge ait.
AB∥A_(1)B_(1), AB∥α, AB⊂β.
Eki tüzlem ve eki çift yöneliş
Eki ayrı tüzlem ya ortaq noqtasız ve parallel, ya bir doğru boyunca kesişe. Üst üste tüşmek bir tüzlemniñ eki adı demek. Kubnıñ α ve β tüzlemleri parallel. Öndeki ABB₁A₁ tüzlemi aşağı tüzlemni AB boyunca kese.
Ayrı tüzlemlerniñ parallelligini isbatlamaq içün birincideki eki kesişken doğrunıñ ekincideki eki doğruğa uyğun parallel olması yeterli. β ve α içün AB∥A₁B₁ ve AD∥A₁D₁ alamız. Eki kesişken yöneliş bir tüzlemni belgiley.
Bir çift yeterli degil: aşağı yüzniñ CD doğrusı öndeki yüzniñ A₁B₁ doğrusına parallel, amma tüzlemleri AB boyunca kesişe. Kesici tüzlem eki parallel tüzlemni parallel doğrular boyunca kese. Ters alda, bu doğrularnıñ ortaq noqtası eki parallel tüzlemge de ait olur edi; bu mümkün degil.
Alâmet neden doğruİhtiyariy · keçmek mümkün
Parallel doğrulardan parallel tüzlemge
l∥m, m α-da, l ise α-da yatmasın. l ve m-den keçken γ tüzlemi α-dan başqadır; kesişüv doğruları m. l α-nı X-te kesse edi, X γ-ğa da ait, demek m-de olur edi. Amma parallel l,m-niñ ortaq noqtası yoq. Demek l α-nı kesmey.
Raqurs ne körsetmey
Yassı tasvirde çapraz doğrular kesişken kibi körüne bile. Doğru tüzlemniñ sızılğan parçasından tışqa çıqıp, yine o tüzlemde yata bile. Bu sızmadan aqiqiy feza köşelerini ya da qırış uzunlıqlarını ölçemeymiz. Evvel şarttan ortaq noqta ve tüzlemlerni belgileymiz, soñ sızmanı bu bağlarnı añlatmaq içün qullanamız.