2t+1 m/s süratinden arabanıñ koordinatasını nasıl tapmaq mümkün? Tek sürat yetmey: eki araba başka yerden başlap, birdey areket etebilir. İlkel funktsiya qıymetni türevinden sabitke qadar qaytara; başlanğıç şart o sabitni belgiley. Türev qaideleri kerek.

Neni qaytaramız

Aralıqta f-niñ ilkel funktsiyası F er noqtada f türevine malik. İntegral belgili yazı belgisiz integral dep atala ve bütün aileni bildire:

F′(x) = f(x), ∫f(x) dx = F(x) + C.

F funktsiyası bilinmegen F′=f sade differentsial teñlemedir: onıñ türevini bere. Türev C-ni yoq ete, onı süratten bilmek olmaz. F ve G türevleri teñ olsa, farqlarınıñ türevi sıfırdır; bir aralıqta bu farq sabittir. Demek, bular bütün ilkel funktsiyalar, yalñız bazı misaller degil. OpenStax

Şartlı modelde t saniye, s metr sayısı, 0≤t≤3:

v(t) = 2t + 1, s(t) = (t)^(2) + t + C; s(0) = 5⇒C = 5.

2 saniyede koordinata 11 m. Başlanğıçtan köçüv 11−5=6 m, 11 m degil. Başlanğıç şart bütün koordinata grafigini köçüre, süratni deñiştirmey.

Birdey süratli aile

s=t²+t+C; C=0,3,5

0123051015t, ss, m
Şartlı s=t²+t+C, saniye ve metr. Üzük C=0, noqtalı C=3, turuncı C=5. Başlanğıç noqtalar başqa, aynı vaqıtta meyiller birdey. Birdey adımlı miqyaslar.

Teşkermek mümkün olğan qısqa cedvel

Er sağ tarafnı türevlep teşkeremiz. Aqiqiy r içün x>0; menfiy olmağan bütün dereceler polinom olaraq keñişley.

∫(x)^(r) dx = ((x)^(r + 1))/(r + 1) + C (r ≠ − 1, x > 0).

r=−1 ayrıca: evvelki payda sıfır olur edi:

∫(1)/(x) dx = ln⁡∣x∣ + C (x ≠ 0).

Sıfırdan keçmegen aralıqta qullanıñız. Menfiy ve müsbet yarım oqlarda sabitler başqa olabilir. b>0, b≠1 içün:

∫(e)^(x) dx = (e)^(x) + C; ∫(b)^(x) dx = ((b)^(x))/(ln⁡b) + C.

Trigonometrik argument radianlarda; soñki satır paydaları seçilgen aralıqta sıfır olmamalı:

∫cos⁡x dx = sin⁡x + C; ∫sin⁡x dx = − cos⁡x + C.

∫(dx)/((cos⁡)^(2)x) = tan⁡x + C; ∫(dx)/((sin⁡)^(2)x) = − cot⁡x + C.

Sade qaideler

F′=f, G′=g, a,b sabit olsa, doğrusallıq bere:

∫(af + bg) dx = aF + bG + C.

Doğru şeklindeki iç argument içün zıncır qaidesini ters qullanamız:

∫f(kx + b) dx = (F(kx + b))/(k) + C (k ≠ 0).

∫cos⁡(3x + 1) dx = (1)/(3)sin⁡(3x + 1) + C.

Sinusnı türevlemek daa 3 çarpanını bere, onıñ içün ilkel funktsiyada 1/3 kerek. Bu, er türlü deñişken iç türevge bölmek izin degil. Evvel aralıqnı teşkeriñiz, soñ cevabını türevleñiz ve başlanğıç şartnı qullanıñız: C belli olur.