Konus ve silindrniñ tabanı ve yüksekligi aynı. Niçün konus silindrniñ yarısını degil, üçte birini ala? Oq kesimindeki üçköşelik dörtköşelikniñ yarısını qaplasa da, bir kesimniñ meydanı kölemni belgilemey.
Fezanı kubçıqlarnen ölçemek
Ög şartlar: miqyas ve meydan, prizmalar, piramidalar, silindr ve konus, küre yüzü ve tolu küre.
Kölem cisimni birlik kubnen qıyaslay. 6×4×3 cm tüzköşeli blokta 1 cm³-lik 72 kubçıq bar: V=abc. Parçalarnıñ içleri üst-üstke kelmese kölemleri qoşula; ortaq sıñırlar kölem qoşmay.
Prizma içün V=Bh: B taban meydanı, h taban tüzlemleri arasındaki perpendikulyar mesafe. Qıyış prizma da kire; h yerine yan qaburğanı almañız. Aynı B ve h-li piramida içün umumiy teorema V=Bh/3 bere; taban muntazam olmaq zorunda degil.
Üçte bir: kubta teşkerüv
Kub merkezini töpelerinen birleştiriñiz. Er yüzge birden altı teñ kvadrat tabanlı piramida çıqa. Qaburğası 6 cm kubnıñ kölemi 216 cm³, er piramidanıñki 36 cm³. Tabanı B=36 cm², yüksekligi ise tek 3 cm. Aynı taban ve yükseklikli prizma 108 cm³: 36/108=1/3.
Bu kub modeli ve oña beñzer kopiyalar içün delildir. Yalñız bu bölüniş er türlü taban ve yükseklik içün formulana isbatlamay; aşağıda ayrı umumiy esap bar.
Kub: altı teñ piramida
Oq kesimleri: meydan ≠ kölem
Dal içün: teñ kesim meydanları
Tüz yuvarlaq silindr içün V=πr²h, konus içün V=πr²h/3. r=4 cm, h=3 cm alsaq: 48π≈150,80 cm³ ve 16π≈50,27 cm³. Oq kesimlerindeki üçköşelik ve tüzköşelik meydanları 12 ve 24 cm². Meydan nisbeti 1/2, kölem nisbeti 1/3: kölem içün bütün parallel kesimler müim.
Tolu küre yer ala, küre yüzüniñ meydanı bar
R>0 içün eki ayrı miqdar:
V = (4)/(3)π(R)^(3), S = 4π(R)^(2).
R=3 cm-da V=36π cm³ ve S=36π cm². 36π sayısınıñ aynı olması bu birliklerde tesadüftir; meydan ve kölemni aynı türlü miqdar kibi qıyaslamañız. Küre yüzüniñ meydanı onı sarğan radiusı R, yüksekligi 2R silindrniñ eki tabansız yan meydanına teñ.
Dal · Terenrekİhtiyariy · keçip ketmek mümkün
Kavaleri: er seviyeni qıyaslamaq
Kavaleri printsipini qabul etemiz: yükseklikleri ve er uyğun seviyedeki kesim meydanları teñ cisimlerniñ kölemleri teñ. Tek tabanlarnıñ teñligi yeterli degil.
Ekvator üstünde z yükseklikte üst yarımküreniñ kesim meydanı π(R²−z²), 0≤z≤R. Radiusı R, yüksekligi R silindrden konusnı çıqarayıq. Konus töpesi aşağıda z=0-da, tabanı yuqarıda z=R-de; kesim radiusı z-dir. Qalğan alqanıñ meydanı er seviyede πR²−πz². Demek, yarımküre kölemi πR³−πR³/3=2πR³/3; eki qatı tolu küre formulasını bere. Mında artıq belli konus kölemi qullanıla.
Dal · Formulalarnenİhtiyariy · integral añlamı kerek
İntegral koeffitsiyentlerni añlata
Piramida ya da konusta töpeden z mesafedeki kesim tabanğa z/h miqyasta beñzey. Meydanı B(z/h)², demek:
V = ((∫)_(0))^(h)B(((z)/(h)))^(2) dz = (Bh)/(3).
Küre yüzü içün yarımçemberni x=R cos t, y=R sin t, 0≤t≤π dep parametrize etemiz. Yay elementi ds=R dt. Aylanuv yüzü formulası 2πy ds şeritlerini qoşıp S=2πR²∫₀^π sin t dt=4πR² bere. Bu ayrı meydan delili, siluetni ölçev degil.
Litr ve miqyas
1 cm³=1 mL; 1 L=1 dm³=1000 cm³; 1 m³=1000 L=1 000 000 cm³. Silindrimiz taqriben 0,15080 L, konus 0,05027 L ala. Sığım içün qobuqnıñ tış diametri degil, iç ölçüler alına.
Bütün uzunlıqlar s>0 qat artsa, meydanlar s², kölemler s³ qat arta. Küre radiusı eki qat olsa meydanı dört, kölemi sekiz qat ola. Evvel cisimni, yükseklikni ve birliklerni belgileñiz, soñ formulana saylañız.
Menbalar ve sıñırlar
Formulalar ve şartlar: Merzlâk ve ortakları, 2019, 22–23 bölük, s.141–149. AMSI: kubnı bölüv ve Kavaleri. OpenStax, Calculus Volume2, §7.2: aylanuv yüzü meydanı. Birlikler: NIST cedveli. Sayılar ve sızmalar özümizniki; ideal model material qalınlığını esaplamay.