Aynı yer parçasını eki üçköşelik ya da eki qıyıq parça arasındaki bir tikdörtkoşelik kibi körmek mümkün. Ölçüler aynı olsa ve parçalar üst üste kelmese, eki esap bir netice bermeli. Bu, yalnız şekline baqıp formula tahmin etmekten faydalı.
Üst üste kelmegen parçalarğa bölgende meydanlar qoşula; parçanı köçürmek ya da çevirmek onıñ meydanını deñiştirmey. Şunıñ içün çoq meydan formulaları tikdörtkoşelik ve üçköşelikten çıqa. Dörtköşeliklerge, trigonometriyağa ve sinus-kosinus teoremalarına tayanamız.
Birlik — kesik degil, kvadrat
1 m² — tarafları 1×1 m olğan kvadratnıñ meydanı. Tarafları a,b olğan tikdörtkoşelik içün S=ab. Bütün uzunlıqlarda birlik kvadratlarını sayamız; ratsional uzunlıqlarda ağı ufaqlaştıramız. Formula irratsional uzunlıqlar içün de doğru, amma soñlu ağnıñ özü bu umumiy neticeni isbatlamay.
1 m=100 cm olğanı içün 1 m²=10 000 cm²: 100 çarpanını eki kere qullanamız. Perimetr ise uzunlıq birligine saip. 4×3 ve 6×2 tikdörtkoşelikleriniñ meydanı bir — 12, perimetrleri ise 14 ve 16.
Meydanları teñ şekiller bütün olaraq teñ olmaq mecburiyetinde degil. Teñ parçalardan qurulğan şekiller soñlu sayıda çift-çift teñ parçağa kesilip, bir-birine qaytadan toplana bile. Böyle köçürip toplamaq meydanlarınıñ teñligini añlata. AMSI, parçalav.
Tikdörtkoşelikten parallelogram ve üçköşelikke
Sızmada parallelogramnıñ köşesindeki üçköşelikni kesip, diger tarafqa köçüremiz. Aynı a esaslı ve h yükseklikli tikdörtkoşelik çıqa; demek S=ah. Qıyıq taraf h yerine keçmey: esas doğruları arasındaki perpendikulyar mesafe kerek.
Er angi üçköşelikniñ eki teñ nushası aynı esaslı ve yükseklikli parallelogram qura. Şunıñ içün üçköşelikniñ meydanı onıñ yarısı:
S_(△) = (ah)/(2).
Yükseklik ayağı üçköşelikniñ tışına tüşse de formula deñişmey: töpeden esas doğrusına mesafe yine yükseklik ola.
Kesip köçürmek
Trapetsiya: 12 + 6 = 18
Aynı trapetsiya: 3 + 12 + 3
Geron ve yükseklik: 7–8–9
Bir trapetsiya, eki bölüniş
Trapetsiyanıñ diagonalı onı eki üçköşelikke böle. Esasları — parallel a,b tarafları; yükseklikleri aynı h. Demek:
S = (ah)/(2) + (bh)/(2) = (a + b)/(2)h.
Öz misalimizde esaslar 8 m ve 4 m, yükseklik 3 m. Diagonal boyunca bölmek 12+6=18 m² bere. Vertikal bölmek ise 4×3 tikdörtkoşelik ve katetleri 2,3 olğan eki tiktaraflı üçköşelik bere: 12+3+3=18 m². Bu, eki formulanıñ tesadüfiy uyğunlığı degil, aynı meydandır.
Umumiy sade çoqköşelikni içleri üst üste kelmegen üçköşeliklerge bölemiz. Boşluq bar olsa, onıñ meydanını bir kere çıqaramız. İki parçanıñ esasları başqa doğrularda olğanda, sebebini teşkermeden aynı yükseklik sayısını qoymaq — hata.
Romb: yükseklik ya da diagonallar
Romb parallelogramdır, şunıñ içün S=ah. Onıñ perpendikulyar d₁,d₂ diagonalları bir-birini yarığa bölip, dört tiktaraflı üçköşelik qura. Meydanlarını qoşsaq:
S_(romb) = (d_(1)d_(2))/(2).
Yarısını almaq unutılsa, netice eki kere artıq çıqar. Perpendikulyarlıq müim: başqa dörtköşelikniñ diagonallarına bu formulanı teşkermeden keçirmeymiz.
Eki taraf ve aralarındaki köşe belli olsa
Üçköşelikte a,b tarafları C köşesini qura. a esasına yükseklik b sinC ola, demek:
S = (1)/(2)absinC.
Bu, 0°<C<180° içün, küt köşe içün de doğru: sinus musbettir. Bütün uzunlıqlar k kere artsa, meydan k² kere, perimetr ise k kere arta.
Aynı tarzda qabarıq dörtköşelik diagonallarınıñ kesişmesi etrafındaki dört üçköşelik S=d₁d₂sinφ/2 bere; φ — diagonallar arasındaki köşe. Rombta φ=90° olğanı içün evvelki yarım çarpımğa qaytamız.
Doğru n-köşelikte n teñ merkez üçköşeligini qoşamız. Perimetr P, apofema r olsa, S=Pr/2. Bu, ayrı bir formula degil, aynı esasnıñ neticesi.
Üç taraf: Geron formulası
Evvel üçköşelik teñsizliklerini teşkeremiz. Musbet a,b,c uzunlıqlarınıñ er biri diger ekisiniñ ceminden kiçik olmalı. p=(a+b+c)/2 — yarım perimetr olsun. O zaman:
S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)).
Tarafları 7,8,9 m olsa, p=12 m ve S=√(12·5·4·3)=12√5≈26,83 m². Ayrı teşkerüv: esas 9 m, yükseklik 8√5/3 m, demek 9·(8√5/3)/2=12√5 m². Kök astındaki dört uzunlıqnıñ çarpımı m⁴ birliginde; kvadrat kökten soñ m² çıqa. OpenStax, Geron formulası.
Başqa belli ölçülerİhtiyariy · keçmek mümkün
Üçköşelik çemberiniñ radiusı belli olsa
İçki çember merkezini töpelerge qoşsaq, yükseklikleri r olğan üç parça çıqa. Şunıñ içün S=(a+b+c)r/2=pr. Tışqı çember radiusı R içün sinuslar teoreması sinC=c/(2R) bere, demek S=abc/(4R). Bu eki çemberniñ merkezleri umumiyetle başqa, G009-da añlatılğanı kibi.
7–8–9 üçköşeligimizniñ meydanı 12√5, demek r=S/p=√5, R=abc/(4S)=10,5/√5. Er formula aynı meydannı başqa belli ölçülerden esaplay.
Çıqaruv tafsilâtıİhtiyariy · keçmek mümkün
Geron formulası kosinuslardan nasıl çıqa
S=ab sinC/2 ve cosC=(a²+b²−c²)/(2ab) formulalarından:
16(S)^(2) = 4(a)^(2)(b)^(2) − ((a)^(2) + (b)^(2) − (c)^(2))^(2).
Kvadratlar farqı (a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c) çarpımına açıla. Yarım perimetr ile bu 16p(p−a)(p−b)(p−c) ola. 16-ğa bölemiz ve musbet kök alamız. Trigonometrik çıqaruv, University of Georgia.