Mürekkep teñlemeni sade teñlemege ketirmek

$x^4-5x^2+4=0$ teñlemesi dörtünci dereceli, amma onda bir qurulış tekrarlana: $x^4$ , $x^2$ ifadesiniñ kvadratıdır. $t=x^2$ desek, tanış kvadrat teñleme çıqa. Soñra başka deñişicige cevap bermeyip, $t$ -den bütün mümkün $x$ -lerge qaytmaq kerek.

Çarpanlarğa ayıruv ve kvadrat teñlemeler kerek. Aqiqiy sayılarda çalışamız; kompleks çezimler bu derske kirmey.

Deñiştirme şartınen beraber kele

Bikvadrat teñleme $ax^4+bx^2+c=0$ , $a\ne0$ şeklindedir. $t=x^2$ deñiştirmesinden $at^2+bt+c=0$ çıqa, amma mutlaqa $t\ge0$ .

Bizde $t^2-5t+4=0$ , yani $(t-1)(t-4)=0$ . Demek, $t=1$ ya da 4. Bu daa soñki cevap degil:

x^2=1\quad\text{ya da}\quad x^2=4.

Birincisi $x=\pm1$ , ekincisi $x=\pm2$ bere. Dört sayı da uyğun. Teşkerüv: $x^2=1$ içün başlanğıç ifade $1-5+4=0$ ; $x^2=4$ içün $16-20+4=0$ .

t=x² deñiştirmesi t ≥ 0 talap ete. Tapılğan eki t de mümkün. Qaytuv dört x bere: −2, −1, 1, 2; eksi işaretni unutmaq olmaz.

Deñiştirme birge-bir degil: 1 ve −1 aynı $t=1$ bere. Şunıñ içün qaytuv yolunda tarmaqlar peyda ola.

t kökü x-ke qaytmay bile

$x^4+3x^2-4=0$ -da aynı deñiştirme $(t-1)(t+4)=0$ bere. $t=-4$ sayısı $t$ içün kvadrat teñlemeniñ doğru kökü, amma aqiqiy $x$ -niñ kvadratı olalmaz. $t\ge0$ şartınen onı çıqaramız; yalñız $x=\pm1$ qala.

Bütün tekrarlanğan ifade de deñiştirile bile: meselâ, $t=(x+1)^2$ . $t\ge0$ şartı qala, amma $(x+1)^2=t$ -ge qaytmalı, $x^2=t$ -ge degil. OpenStax §2.6-da kvadrat şekilli teñlemeler.

Dereceni azaytuvnıñ başqa yolu — çarpannı ayırmaq

$P(x)=x^3-4x^2+x+6$ olsun. $x=2$ qoyıp baqsaq, $8-16+2+6=0$ . Bu $x-2$ çarpanını köstere. Qalğanını tapmaq içün çoqazalını bu eki azalığa bölemiz, er sefer baş azanı çıqarıp.

Evvel $x^2$ alamız: $(x-2)x^2=x^3-2x^2$ çıqarılğanda $-2x^2+x+6$ qala. Soñ $-2x$ alamız: $-2x^2+4x$ çıqarıla, $-3x+6$ qala. Nisbetniñ soñki −3 azası qalğanını yoq ete. Demek:

P(x)=(x-2)(x^2-2x-3).

Bölüv neticesi $x^2-2x-3$ , qaldıq 0. Qayta çarpıp $P$ -niñ dört koeffitsiyentini teşkeremiz. Umumiy alda sıfır olmağan $B$ çoqazalısına bölüv $P=BQ+R$ teñligini bere; $R=0$ ya da $R$ derecesi $B$ derecesinden kiçik. OpenStax §5.4-te çoqazalı bölüvi.

Bezu teoreması yerine qoyuvnı añlata

$x-r$ bölücisi içün qaldıq sabittir: $P(x)=(x-r)Q(x)+R$ . $x=r$ qoysaq, çarpım yoq ola, demek $R=P(r)$ . Bu qaldıq aqqında Bezu teoremasıdır. Bundan $r$ kök olması içün ve tek o vaqıt $x-r$ qaldıqsız çarpan olmalı. OpenStax §5.5-te qaldıq ve çarpan teoremaları.

Bizde $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ , demek $P(x)=0$ içün $x=2,3,-1$ . Teñlemeni $x-2$ -ge bölip 2 kökünü yoğaltmadıq: er çarpannıñ sıfırını baqtıq. 2-ni sınap muvafaq olmaq böyle qıdıruv er vaqıt kökni tez tapar demek degil.

Tarmaq · TeşkerüvKök tapılmasa da bölüv çalışa.

Qaldıq sıfır olmasa

$P(x)=x^2+1$ içün $P(x)=(x-2)(x+2)+5$ . Qaldıq 5, $P(2)$ -ge teñ; demek 2 kök degil. Bu teñlik $x=2$ içün bile doğru, amma $P(x)/(x-2)$ sayısal kesiri o yerde belgilenmegen. Çoqazalı teñligi ve nisbetniñ mümkün saası ayrı suallardır.

Dereceni azaytuv başlanğıç mesele ile bağnı saqlağanda çalışa: deñiştirme şartı ve bütün qaytuv tarmaqları, ya da sıfır çarpımnıñ er çarpanı. Qısqa ara yazılış bu bağnen beraber faydalıdır.