Neden (a + b)^(2) ifadesi (a)^(2) + (b)^(2) ile birdey degil? Kvadrat plitkanıñ eki tarafını büyütkende köşedeki kiçik kvadrattan başqa eki şerit qoşula. Ortadaki 2ab azasını şu şeritler bere. Bu qurulışnı körip, soñra çoqazalılarnı çarpma qaidesinen sızmasız da qayta çıqarmaq mümkün.
Toplam kvadratınıñ dört qısmı
Tarafı a + b olğan kvadrat alayıq; a > 0 ve b > 0. Er tarafnı bölsek, meydanı (a)^(2) olğan kvadrat, meydanları ab olğan eki şerit ve meydanı (b)^(2) olğan kiçik kvadrat çıqa. Yalñız kvadratlarnı toplasaq, şeritler esapqa alınmaz.
Cebir bu qurulışnı tekrarlay:
(a + b)^(2) = (a + b)(a + b) = (a)^(2) + ab + ba + (b)^(2) = (a)^(2) + 2ab + (b)^(2).
Sızmada a = 3, b = 2: 9 + 6 + 6 + 4 = 25, yani (5)^(2). Dağıtuv qanunı teñlikni er türlü aqiqiy a,b içün isbatlay; adiy meydan modeli ise müsbet uzunlıqlarnı talap ete. OpenStax §1.4-te kvadratlarnı çıqaruv.
Farq kvadratında orta işaret deñişe
Formulda b yerine − b qoyayıq. ( − b)^(2) = (b)^(2), amma qarışıq çarpımnıñ işareti deñişe:
(a − b)^(2) = (a)^(2) − 2ab + (b)^(2).
Şimdi (99)^(2) = (100 − 1)^(2) = 10000 − 200 + 1 = 9801. Yalñız (1)^(2) çıqarsaq, 9999 çıqa: bu başqa ifade, (100)^(2) − (1)^(2) esabıdır.
Arif bütün bir ifadeni de bildire bile: (2x − 3)^(2) = 4(x)^(2) − 12x + 9. Birinci kvadrat (2x)^(2), orta aza ise − 2 ⋅ 2x ⋅ 3. Qavuslar em koeffitsiyentni, em işaretni yoğaltmamağa yardım ete.
Kvadratlarnıñ farqında qarışıq azalar yoq ola
Bir eki azalıda artı, ekincisinde eksi olsa, qarışıq qoşulmalar bir-birine qarşıdır:
(a + b)(a − b) = (a)^(2) − ab + ab − (b)^(2) = (a)^(2) − (b)^(2).
Bu kvadratlarnıñ farqı, farqnıñ kvadratı degil. Meselâ, 103 ⋅ 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 10000 − 9 = 9991. Formulnı tersine de oqumaq mümkün: (x)^(2) − 25 = (x − 5)(x + 5). Çarpım toplamda gizlengen çarpanlarnı aça.
Kublar: işaretlerni teşkermek
(a − b) ifadesini (a)^(2) + ab + (b)^(2) ile çarpayıq. Altı aza çıqa: (a)^(3) + (a)^(2)b + a(b)^(2) − (a)^(2)b − a(b)^(2) − (b)^(3). Ortadaki dört aza bir-birini yoq ete. Demek:
(a)^(3) − (b)^(3) = (a − b)((a)^(2) + ab + (b)^(2)).
b yerine − b qoysaq, kublarnıñ toplamını alamız:
(a)^(3) + (b)^(3) = (a + b)((a)^(2) − ab + (b)^(2)).
Meselâ, (x)^(3) − 8 = (x − 2)((x)^(2) + 2x + 4), (x)^(3) + 8 = (x + 2)((x)^(2) − 2x + 4). ab yanındaki işaret orta azalarnıñ yoq olması içün kerek. OpenStax §1.5-te eki kub teñligi.
Tarmaq · Daa bir adımQoşma çarpım; esas beş teñlik endi çıqarıldı.
Eki azalınıñ kubu
Toplamnıñ kvadratını a + b ile çarpayıq. (a)^(2)b azası (a)^(2) ⋅ b-den bir kere, 2ab ⋅ a-dan eki kere çıqa; toplam 3(a)^(2)b. Aynı şekilde 3a(b)^(2) toplanır:
(a + b)^(3) = (a)^(3) + 3(a)^(2)b + 3a(b)^(2) + (b)^(3).
− b qoysaq, (a − b)^(3) = (a)^(3) − 3(a)^(2)b + 3a(b)^(2) − (b)^(3) çıqa. Bu (a)^(3) − (b)^(3) ile birdey degil: eki çetki kub arasında daa eki qoşulma bar.
Qısqa çarpım yazuvnı azalta, çünki azalarnıñ bütün çiftleri endi esaplandı. Formul unutılsa, qavuslarnı açıp onı qayta çıqarmaq mümkün. Kiçik sayısal qoyuv yanlış işaretni aça bile, amma umumiy isbatnıñ yerini tutmaz.