Kub töpesinde üç kvadrat, muntazam tetraedr töpesinde üç üçköşelik birleşe. Yüz sayısı teñ olsa köşeler de teñmi? Bu qoşma ders yüzdeki köşeni yüzler arasındaki köşeden ayırıp, niçün tek beş muntazam qabarıq cisim olğanını añlata.
Ög şartlar: fezaviy köşeler, kesimler, feza koordinataları, kub ve prizma.
Köşeni bir qaç yüz qura
Qabarıq çoqyüzlik töpesindeki çoqyüzli köşe — birleşken yüzler arasındaki feza qısmı, sıñırlarınen beraber. Ortaq töpeden qaburğa nurları çıqa; qoñşı nurlar yüzde tüz köşeler sınırlay. Üç yüz üçyüzli köşe bere; üç nur bir tüzlemde yatmay.
Kub töpesinde üç 90° tüz köşe, cemi 270°. Muntazam tetraedrde üç 60°, cemi 180°. Bunlar bir ekiyüzli köşeniñ qıymeti degil. Ekiyüzli köşe G026-dağı kibi eki yüzniñ ortaq qaburğa boyunca açılışını ölçey.
Bozulmağan qabarıq üçyüzli köşeniñ er tüz köşesi başqa ekisiniñ ceminden kiçik; üçüniñ cemi 360°-dan kiçik. Yüzleri çoq olğan qabarıq töpede de cem 360°-dan kiçik olmalı: tüz tam aylanma fezaviy qabarıq töpe yaratmay.
Üç yüz: ayrı tüz köşeler
Tetraedr, kub, oktaedr: p ve q
Eki ayrı fezaviy geometrik yer
Niçün beş muntazam cisim?
Mında muntazam qabarıq çoqyüzlik teñ muntazam çoqköşeli yüzlerge ve er töpede aynı tertipke malik. Er yüzniñ p tarafı, er töpede q yüz olsun, p,q≥3. Yüzniñ iç köşesi 180°(p−2)/p, demek:
q(180(p − 2))/(p) < 360, (p − 2)(q − 2) < 4.
Tam sayılardan tek bunlar qala:
| Cisim | p | q | Töpedeki köşeler cemi |
|---|---|---|---|
| Muntazam tetraedr | 3 | 3 | 180° |
| Kub | 4 | 3 | 270° |
| Muntazam oktaedr | 3 | 4 | 240° |
| Muntazam dodekaedr | 5 | 3 | 324° |
| Muntazam ikosaedr | 3 | 5 | 300° |
Teñsizlik başqalarını çıqara — zarur şarttır. Bu beşiniñ barlığı ayrı qurmalarnen tasdiqlana; teñsizlik yalñız özü cisimni qurmay. Sınıflama üçölçüli Evklid fezasındaki qabarıq muntazam çoqyüzlikler içün, yıldızlı cisimler ya da er türlü torlar içün degil.
Simmetriya bütün cisimni saqlay
Kub qarşı yüz merkezleri arasındaki oqta 90°, büyük diagonal etrafında 120° aylansa saqlana. Töpe koordinataları (±1;±1;±1) bolsa (x;y;z)→(−y;x;z) ve (x;y;z)→(y;z;x) deñişmeleri er töpeni töpege keçire, mesafe ve qaburğalarnı saqlay.
Fotoda aynı siluet yeterli degil. Fezaviy simmetriya körünmegen tarafını da qoşıp bütün noqtalar kümesini saqlay; proyeksiya farqnı gizley bile.
Fezadaki geometrik yerler
Geometrik yer — berilgen hususiyetli bütün ve tek noqtalar. Fezada cevap tüzlem ya da yüz ola bile:
- Ayrı A,B noqtalarından teñ mesafedekiler — AB ortasından keçken, AB-ge perpendikulyar tüzlem. A(−2;0;0), B(2;0;0) içün mesafe kvadratlarınıñ teñligi x=0 bere; eki yön de teşkerile.
- Bir sızıqta yatmağan üç noqtadan teñ mesafedekiler — üçköşelikniñ tış çember merkezinden keçip tüzlemine perpendikulyar sızıq: eki orta perpendikulyar tüzlemniñ kesişmesi.
- z=0 tüzleminden a>0 mesafedekiler — z=±a eki tüzlemi; a=0-da bir tüzlem qala.
- Parallel z=0 ve z=4 tüzlemlerinden teñ mesafedekiler — z=2, çünki |z|=|z−4|.
- Kesişken x=0 ve y=0 tüzlemlerinden teñ mesafedekiler — x=y ve x=−y eki bissektor tüzlemi: |x|=|y|.
- z oqından a>0 mesafedekiler — x²+y²=a² sonsuz silindrik yüzü. z serbest; bu soñlu yükseklikli tolu silindr degil. a=0-da tek oq qala.
Evvelki mesafe qaadeleri çoqyüzlik olmağan şekillerni de tanımağa yardım ete.
Dal · Kurstan soñİhtiyariy · tek qısqa ileri baqış
Perspektiva: dörtölçüli kub
Kvadrat 0 ile 1 arasında eki koordinatanen, kub üçünen berile. Dört koordinatada 0≤xᵢ≤1, i=1,2,3,4. Töpelerniñ er koordinatası 0 ya da 1, demek töpe sayısı 2⁴=16. Bu dörtölçüli kub, ya da tesserakt. Onıñ üçölçüli proyeksiyası altıncı muntazam 3D cisim degil; kubnıñ tüz sızması kibi geometriya bilgisiniñ bir qısmını coyar. Dörtölçüli geometriyanı tam ögrenmek bu derske kirmey.
Qarqasları qıyaslağanda yüzlerni, tüz ve ekiyüzli köşelerni, cisimler sınıfını adlandırıñız. Geometrik yerde hususiyetni aytıp eki yönni teşkeriñiz: sızma misal köstere, şart bütün şekilni belgiley.
Menbalar ve sıñırlar
Merzlâk ve ortakları, 10 sınıf profil geometriyası, 17 bölük, PDF176–178 — çoqyüzli köşeler; Nelin, 10 sınıf, §17, PDF160 — fezaviy geometrik yerler. Evklid XIII.18, Remark ve Cambridge NRICH — beş muntazam cisim ve köşe şartları. John Baez, UC Riverside, 26 avgust2019 — 4D kubnıñ16 töpesi; koordinata sayuvımız özümizniki. Simmetriya teşkerüvleri ve misaller özümizniki; fizik qoşma ölçüler aqqında iddia yoq.