Tiktörtkoşe yer içün 20 m çit bar. 3 ve 7 m yanlar, 5 ve 5 m yanlar kibi aynı meydannı beremi? Perimetr birdey, amma meydanlar 21 ve 25 m². Kvadrat bağlılıq bir ölçüni arttırmaq ne vaqıt meydanğa yardım etmey başlağanını köstere.
Kvadrat teñlemeler ve funktsiyalar kerek. Çit dört yannı da qaplay; qalınlıq ve açıqlıqlarnı esapqa almaymız.
Töpe menfiy olmağan kvadrattan çıqa
x bir yannıñ metrlerde sayısal uzunlığı olsun. 2(x + y) = 20-den ekinci yan y = 10 − x. Ekisi de musbet, demek 0 < x < 10. m²-de sayısal meydan:
S(x) = x(10 − x) = 25 − (x − 5)^(2).
Kvadrat menfiy degil, demek S(x) ≤ 25; teñlik yalñız x = 5-te. Yer 5×5 m kvadrat ola; (5,25) — meydan grafiginiñ töpesi. x = 5 − d ve x = 5 + d aynı (d)^(2) ve aynı meydan bere: grafik x = 5 doğrusına köre simmetrik.
Kvadrat funktsiyanıñ grafigi parabola dep adlandırıla. Kvadratnıñ menfiy koeffitsienti dallarnı aşağı yönelte, demek töpe maksimum. 0 ve 10-da sıfır meydan dejenere tiktörtkoşelerge uyğun; bu uçlar modelge kirmey. Meydan qıymetleri saası (0,25].
Koeffitsientler şekilni nasıl deñiştire
f(x) = a(x − h)^(2) + k, a ≠ 0 yazuvı oquvğa qolay. Töpe (h,k), simmetriya oqu x = h. a > 0 olsa, töpe minimum; a < 0 olsa, maksimum. Töpeden birdey yatay uzaqlıqta tik sapma bu uzaqlıqnıñ kvadratını a-ğa çarpmaqnen alına.
(x)^(2)-den 2(x − 1)^(2) − 3-ke keçmek içün 1 sağğa köçüremiz, sıfır seviyesinden tik mesafelerni eki qat arttıramız, soñ 3 aşağı köçüremiz. Töpe (1, − 3) ola. Bütün netice ifadesini −1-ge çarpmaq onı yatay oqqa köre aks ettirir edi. Kvadrat funktsiya şekilleri, OpenStax §5.1.
Köçürme ve kerüv
20 m perimetrde meydan
ax²+bx+c yazuvında töpe
a ≠ 0 içün kvadrat ayırmaq:
a(x)^(2) + bx + c = a((x + (b)/(2a)))^(2) + c − ((b)^(2))/(4a).
Demek h = − b/(2a), k = f(h) = c − (b)^(2)/(4a). Yatay koordinatada minusnı yoğaltmañız. S = − (x)^(2) + 10x içün a = − 1, b = 10, c = 0; demek h = 5, k = 25.
Bu koordinatalar tam parabolanıñ töpesini tasvirley. Mesele yalñız 1 ≤ x ≤ 3-ke yol berse edi, 5-teki töpe irişilmez edi; bu saada eñ büyük meydan x = 3-te 21 m² olur edi.
Sıfırlar teñlemelerge, işaretler teñsizliklerge cevap bere
Sıfırlar — f(x) = 0 olğan kirişler; olarnı kvadrat teñleme bere. Eki farqlı aqiqiy kök yatay oqnen eki kesişme bere; çift kök — toqunuv; menfiy diskriminantta aqiqiy sıfırlar yoq.
f(x) = 2(x − 1)^(2) − 3 içün f(x) ≤ 0 şartı (x − 1)^(2) ≤ 3/2-ge teñquvetli. Demek
1 − √(3/2) ≤ x ≤ 1 + √(3/2).
Bu — parabolanıñ oqta yaki ondan aşağı qısmı. İşaretni eğriniñ körünişinden tapmağa mecbur degilmiz: kökler sınırlarnı, dallarnıñ yönelişi yaki çarpanlarğa ayırma aralıqlarnı tasdıqlay.
Perimetr formulağa, formula kvadratqa çevrildi, kvadrat meydannıñ tam sınırını berdi. Başqa kvadrat modellerde de töpeni oqumaq faydalı, amma evvel saa ve birimler teşkerilmeli.