Direkten ne qadar uzaq turğanıñız ve onıñ töpesini angi köşe altında körgeniñiz belgili. Pifagor teoreması daa yeterli degil: tek bir uzunlıq bar. Trigonometriya köşe ile bağnı bere.

Dik üçköşelikniñ keskin köşesi içün sinus — qarşı katetniñ gipotenuzağa nisbeti; kosinus — bitişik katetniñ gipotenuzağa nisbeti; tangens — qarşı katetniñ bitişik katetke nisbetidir. Bu nisbetler üçköşelikniñ büyükligine degil, köşege bağlı. Sebep — AA boyu beñzerlik; Pifagor teoreması uzunlıqlarnı teşkermege yardım ete.

Köşeni seçemiz — taraflarnı ataymız

α — seçilgen keskin köşe, a — oña qarşı katet, b — bitişik katet, c — gipotenuza olsun. 0°<α<90° içün:

sin⁡α = (a)/(c), cos⁡α = (b)/(c), tan⁡α = (a)/(b).

Gipotenuza er vaqıt dik köşe qarşısında. O α töpesine toquna, amma bitişik katet degil. Diger keskin köşe seçilse, a ve b rollerini almaştıra; gipotenuza aynı qala. Sızmada sinα=3/5, cosα=4/5, tanα=3/4. AMSI: tarifler ve taraf seçimi.

α-ğa nisbeten taraflar

ABCαa = 3b = 4c = 5

Köşeni gorizontaldan ölçeymiz

35°d = 12e = 1,6H

0,6 / 3 = 20%, 20° degil

α ≈ 11,31°L ≈ 3,06d = 3h = 0,6
Er panelniñ öz teñ miqyası bar. Birinci: α A-da; qarşı katet BC=a=3, bitişik AB=b=4, gipotenuza AC=c=5. Ekinci: d=12 m gorizontalı aletniñ e=1,6 m seviyesinde;35° baqış sızığı, yer seviyeleri aynı olğanda H≈10,0 m bere. Üçünci: h=0,6 m,d=3 m,L≈3,06 m, köşe≈11,31°; vertikal miqyas büyütülmegen. Dik köşe belgileri yükseklikni qıyadan ayıra.

Üç nisbetniñ de ölçü birimi yoq: metr metrge bölüne. Keskin köşe içün 0<sinα<1, 0<cosα<1, tanα>0. Bütün taraflarnı eki kere büyütüv nisbetlerni deñiştirmey.

Formula berilgenlerge köre seçile

Bütün formulalarnı birden hatırlamaq kerek degil: belgili ve qıdırılğan tarafnı belgileñiz.

  • Qarşı katet ve gipotenuza → sinus: a=c sinα ya da c=a/sinα.
  • Bitişik katet ve gipotenuza → kosinus: b=c cosα ya da c=b/cosα.
  • Eki katet → tangens: a=b tanα ya da b=a/tanα.

Eki katet belgili olsa, köşe α=arctan(a/b). Kalkulâtorda tan⁻¹ ekseriyetle bu ters funktsiyanı bildire, 1/tanα degil. Derece berilgenleri içün DEG rejimini qoyuñız. Diger keskin köşe 90°−α-ğa teñ.

Tez teşkerüv içün bazı tam qıymetlerni çıqarmaq mümkün:

  • 30°: sin30°=1/2, cos30°=√3/2, tan30°=1/√3.
  • 45°: sinus ve kosinus √2/2, tangens 1.
  • 60°: sinus √3/2, kosinus 1/2, tangens √3.

30° ve 60° qıymetleri eş taraflı üçköşelikniñ yarısından, 45° ise eş yanlı dik üçköşelikten çıqa.

a²+b²=c²-ni c²-ge bölip sin²α+cos²α=1 de alamız; nisbetlerden tanα=sinα/cosα çıqa. Bular uyğunlıq teşkerüvleri, taraflarnı doğru seçüvniñ yerine keçmey.

Yükseklik: alet seviyesini unutmañız

Alet yerden e=1,6 m yüksekte. Vertikal direkke gorizontal mesafe d=12 m, baqış sızığınıñ gorizontaldan köterilüv köşesi α=35°. Alet yanındaki yer ve direkniñ esası bir seviyede olsa:

H = e + dtan⁡α = 1,6 + 12tan⁡(35°) ≈ 10,0 m.

Tangens töpeniñ aletten ne qadar yüksek olğanını bere, şunıñ içün e-ni qoşamız. Esas alçaq ya da yüksek olsa, ayrı seviye tüzeltmesi kerek. 10,0 — ideal modelniñ yuvarlanğan neticesi, aqiqiy köşeölçegicniñ doğrulıq vaadi degil.

Baqış sızığı boyu qıya mesafe L — başqa büyükliktir. O belgili olsa, yükseklik farqı L sinα, gorizontal proektsiya L cosα olardı. Tangens formulasında d yerine L qoymaq olmaz.

20% meyillik 20° degil

Doğru sızıqlı köterilişte yükseklik h, gorizontal uzunlıq d ve qıya uzunlıq L dik üçköşelik yapa. Yüzde meyillik:

i = (h)/(d) ⋅ 100% = tan⁡α ⋅ 100%.

Gorizontal 3 m-de 0,6 m köteriliş 20% bere. Köşe arctan(0,2)≈11,31°, qıya uzunlıq ise √(3²+0,6²)≈3,06 m. Demek mahrec 3 m, 3,06 m degil. 45°-de meyillik 100%; bütünniñ parçası kibi 100 ile sıñırlanmay. Esri: meyillikniñ üç ifadesi.

Bu ders meselelerine keskin köşeler ve dik üçköşelikler yeterli. Tam çember, işaretler ve devirlilik cebir kursınıñ trigonometriyasına aittir.