Dört teşik bir çemberde yatmalı. Ya da yuvarlaq qoşma dört doğru kenarğa toqunmalı. Eki vazifede de çember ve dörtköşelik bar, amma şartları farqlı: birincide köşelerni, ekincide taraf uzunlıqlarını teşkeremiz.
İçke sızılğan köşe töpesini içine almağan yaynıñ gradus ölçüsiniñ yarısıdır. Opuq dörtköşelikniñ töpelerinden bir çember keçmesi içün ve tek şu vaqıt qarşı köşeleri 180° bermeli; bütün taraflarına toqunğan içki çember içün ve tek şu vaqıt qarşı taraf uzunlıqlarınıñ toplamları teñ olmalı. Üçköşelik köşeleri ve çember ile toqunıcı kerek.
Bir horda eki yaynı sıñırlay
Töpesi O merkezinde olğan köşe — merkeziy köşe. OA ve OB radiusları eki köşe bölgesini ve eki yaynı sıñırlay. Tam çember 360°; kiçik yay 120° olsa, büyügi 240°. Bu yaynıñ gradus ölçüsidir, uzunlığı degil.
İçke sızılğan köşeniñ P töpesi çemberde, tarafları ise başqa eki A ve B noqtasından keçe. P olmağan AB yayını alamız. Ölçüsi θ olsa:
∠APB = (θ)/(2).
120° yay 60° köşeni, 240° yay 120° köşeni bere. Ekinci alda radiuslar arasındaki kiçik köşeni avtomatik saylamay, 180°-den büyük uyğun merkeziy köşeni alamız. Evklid III.20.
120° yay → 60° içki sızılğan köşe
240° yay → 120° içki sızılğan köşe
Çemberde dört töpe
İçte çember, taraflar toqunıcı
Eki çarpanı teñ yanlı üçköşeliklerden çıqa: O-nı içke sızılğan köşeniñ töpesi ile birleştirip, teñ radiuslar ve temelde teñ köşeler alamız. Böyle üçköşelikniñ tışqı köşesi eki teñ köşeniñ toplamıdır. Merkezniñ yerine köre bu qısımlar qoşula ya da çıqarıla; yarı nisbet saqlana.
Aynı yayğa tayanğan içke sızılğan köşeler teñdir. Amma bir hordanıñ eki ayrı tarafındaki köşeler 60° ve 120° ola bile: olar farqlı yaylarğa tayana. 180° yarım çemberge tayanğan köşe doğrudır. Evklid III.21.
Çemberde dört töpe
Endi qabarıq dörtköşeliklerni alamız: öz-özüni kesmegen, içki köşeleri 180° ya da daa büyük olmağan. ABCD-niñ dört töpesi sıra ile bir çemberde yatsa, o çemberge içke sızılğandır.
Qarşı A ve C köşeleri beraber bütün çemberni bergen eki yayğa tayana. Demek, toplamları 360°-niñ yarısı:
∠A + ∠C = 180°.
Öyle de ∠B+∠D=180°. Bu zarur hususiyet. Ters fikir de doğru: berilgen qabarıq dörtköşelikniñ qarşı köşeleri 180° verse, töpelerinden bir çember keçe. Demek, şart yeterlidir de. Evklid III.22, AMSI-niñ ters alâmeti.
Meselâ, 100° ve 80° qarşı köşeler bu teşkerüvden keçe. Yerleşüvlerini belgilemeden yalnız eki teñ köşe yeterli degil.
Çember dört tarafqa toquna
Çember içerde olsa ve er taraf oña toqunsa, dörtköşelik çember etrafına tışqa sızılğandır. Toqunuv noqtaları taraf kesiklerine ait, olarnıñ devamlarına degil.
Bir tışqı noqtadan çıqqan eki toqunıcı kesik teñdir: toqunuv noqtalarına radiuslar perpendikulâr, çıqqan doğru köşeli üçköşeliklerde noqtadan merkezge ortaq gipotenuza ve teñ radius-katetler bar. Olar gipotenuza-katet alâmetine köre teñ, demek toqunıcı kesiklerniñ uzunlıqları teñdir.
Er taraf qoñşu töpelerden kelgen eki böyle kesikten ibaret. Qarşı taraflarnıñ er toplamında dört toqunıcı uzunlıq birer kere esapqa alına. a,b,c,d sıra ile taraflar olsa:
a + c = b + d.
Bu zarur şart. Berilgen qabarıq dörtköşelik içün o yeterlidir de, amma ters yöneliş yalnız qoşulıcılarnı yeniden toplamaqtan çıqmay, ayrı teoremadır. AMSI, Mathematical Gazette-de Pitot teoreması.
Eki teşkerüvni qarıştırmañız: 180° çemberdeki töpelerge, teñ uzunlıq toplamları çemberge toqunğan taraflarğa aittir. Eki hususiyet de yerine kelse bile, içki ve tışqı çemberler farqlı obyektlerdir.