Daire şeklindeki yer içün eki türlü material kerek: kenarı boyunca bordür ve içine qaplama. Eki sayıda da π ola bile, amma biri metrde, digeri kvadrat metrde. Olarnı nasıl qarıştırmamalı?
Çember — sıñır; daire — sıñırı ve içki bölgesi. Yaynıñ uzunlığı, sektor ve segmentniñ meydanı bar. Formulaları tam devirniñ alınğan payına bağlı. Radius ve hordalar, merkez köşesi ve meydannı parçalav kerek olacaq.
Eki formulada da pi neden bar
İdeal çemberni k kere büyütsek, diametr d ve çember uzunlığı C k kere arta. C/d nisbeti deñişmey. Bütün çemberler içün ortaq bu sayı π dep adlandırıla:
π = (C)/(d), C = 2πr, d = 2r.
π≈3,14159. 3,14 ve 22/7 — yaqınlaştırmalar, tam qıymetler degil. Bankanı yip ile sarıp nisbetni tahmin etmek mümkün, amma yipniñ tartılması, qalınlığı ve cisminiñ şekli hata ketire. Bu tecribe pi sayısınıñ irratsionallığını isbatlamay. AMSI, çember uzunlığı.
Daireniñ S=πr² meydanı da sıñır uzunlığına bağlı. Daire etrafına doğru n-köşelik sızayıq. Er merkez üçköşeliginiñ yüksekligi r, demek çoqköşelik meydanı Sₙ=Pₙr/2. Taraflar sayısı soñsuz artqanda Pₙ C-ge, Sₙ daire meydanına yaqınlaşa. Neticede S=Cr/2=πr². Bu — limitke keçiş; er angi soñlu çoqköşelik dairege tam teñ degil.
Bir yay, üç başqa obyekt
Eki radius ve yay sektornı sıñırlay. Aynı yay ve horda segmentni sıñırlay. Merkez köşesi 180°-tan kiçik olğanda sektornıñ içinde radiuslar ve horda arasındaki üçköşelik bar; kiçik segment bu üçköşelikni içermey.
Yay: uzunlıq
Sektor: meydan
Segment: meydan
Merkez köşesi α derecede olsun, 0≤α≤360°. Devir payı f=α/360°. Yaynıñ uzunlığı ℓ=f·2πr, sektornıñ meydanı S=f·πr². Pay aynı, amma biri r-ge, digeri r²-ge köre miqyaslana.
r=3 m ve α=120° içün devirniñ üçte birini alamız. Yay ℓ=2π≈6,283 m; sektor S=3π≈9,425 m². Bütün sektornı çevrelemek içün eki radiusnı da qoşamız: P=2π+6≈12,283 m. Yalnız yay doğru kenarlarını esapqa almay.
Radian artıq çarpannı yoq ete
Radian ölçüsi θ — yay uzunlığınıñ radiusqa nisbeti: θ=ℓ/r. Bir radian uzunlığı r olğan yayğa uyğun. Tam çember uzunlığı 2πr olğanı içün tam devir 2π radian, 180° ise π radian ola.
θ = (α)/(180°)π, ℓ = rθ, S_(sektor) = (1)/(2)(r)^(2)θ.
Soñki eki formula θ radianlarda olmasını talap ete. 120° — 2π/3 radian. 2π/3 yerine 120 qoysaq, başqa yay çıqar. Sinus esaplağanda da DEG/RAD rejimini teşkeremiz. OpenStax, radian ve sektor.
Segment: üçköşelikni çıqaramız
0<θ≤π olğan kiçik segment içün sektordan tarafları r,r ve aralarındaki köşesi θ olğan üçköşelikni çıqaramız. Onıñ meydanı G018-ge köre r²sinθ/2. Demek:
S_(segment) = ((r)^(2))/(2)(θ − sinθ).
Mında θ ve sinus argumenti radianlarda. r=3,θ=2π/3 olsa, üçköşelik meydanı 9√3/4≈3,897, segment meydanı 3π−9√3/4≈5,528 m². Segment sektordan kiçik — beklenilgen teşkerüv. Horda uzunlığı 2r sin(θ/2)=3√3; segmentniñ tam sıñırı eki radius degil, yay ve hordadır. AMSI, sektor ve segment.
Daireniñ diger parçasıİhtiyariy · keçmek mümkün
Büyük segmentni nasıl tapmalı
Aynı horda büyük segmentni de ayıra. Onıñ meydanı daire meydanından kiçik segmentni çıqarmaq ile tapıla: 9π−(3π−9√3/4)=6π+9√3/4≈22,747 m². O, 240° büyük sektornı ve kiçik üçköşelikni içere; mında üçköşelik meydanını qoşamız.
θ büyük yayğa uyğun olsa, r²(θ−sinθ)/2 formulası π<θ<2π içün de doğru. sinθ menfiy, şunıñ içün çıqarmaq qoşuvğa çevirile. İşaretli sinus yerine musbet üçköşelik meydanını qoymaymız.
Miqyas ve material esabı
Köşe aynı qalğanda radiusnı eki kere arttırmaq yay, horda ve perimetrni eki kere arttıra; sektor ve segment meydanları dört kere arta. Bordür metrlerini qaplamanıñ kvadrat metrlerine qoşmaq olmaz. Evvel kerek sıñır ya da bölgeni belgileymiz, π ile esaplaymız ve soñunda yuvarlaqlaymız. Material yedeği — ayrı bir qarar, geometriya formulasınıñ gizli qısmı degil.