Eki noqta yalıdan körüne, amma aralarında ruletka ile yürmek mümkün degil. Yetişilebilir AB esasını ve uclarından eki hedefke de yönlerni ölçemek mümkün. Netice eki adım ile alına: hedeflerge mesafelerni tapıp, olarnı üçünci üçköşelik ile birleştirmek.

Sinus teoreması er tarafnı qarşısındaki köşe ile bağlay. Kosinus teoreması eki taraf ve aralarındaki köşeden üçünci tarafnı tapa. Ekisi de istengen degeneratsiyasız üçköşelikte, küt köşeli olanda da işley. Çemberdeki köşeler, Pifagor ve dik üçköşelik trigonometriyası kerek olacaq.

Küt köşeniñ sinusı ve kosinusı

0°-den 180°-ge qadar köşeler içün birim yarım çemberde bir noqta alamız: onıñ gorizontal koordinatası cosα, vertikal koordinatası sinα. Keskin köşede bular taraf nisbetlerine uyğun. Küt köşede noqta merkezniñ solunda: sinus musbet, kosinus menfi. Meselâ sin120°=√3/2, cos120°=−1/2. 90°-de sinus 1, kosinus 0.

Köşe koordinatalarınıñ tam anlatımı cebirniñ birim çember dersinde bar. Mında yarım çember ve sin(180°−α)=sinα, cos(180°−α)=−cosα qaideleri yeterli. AMSI.

Eki teorema, deñişmegen uyğunlıq

ABC üçköşeligi içün a=BC, b=CA, c=AB dep belgileyik. a A qarşısında, b B qarşısında, c C qarşısında. Bütün köşeler 0° ile 180° arasındadır, cemileri 180°.

Sinus teoreması:

(a)/(sin⁡A) = (b)/(sin⁡B) = (c)/(sin⁡C) = 2R,

R — tıştan sızılğan çemberniñ radiusı. Neden 2R diametri çıqa? Aynı horda gipotenuzası diametr olğan dik üçköşelikte keskin içki sızılğan köşege tayana. Küt köşe içün 180°-ge toluştırıcı köşeni alamız: sinus deñişmey. Demek er tarafnı qarşı köşeniñ sinusına bölsek, aynı diametr çıqa. Köşe 90° olsa, qarşı taraf özü diametrdir, sin90°=1.

Kosinus teoreması:

(c)^(2) = (a)^(2) + (b)^(2) − 2abcos⁡C.

C köşesi a ve b arasında. Arflerni almaştırıp diger eşliklerni alamız. C=90° olğanda tüzeltme yoq ola ve Pifagor teoreması qala. Küt C-de kosinus menfi, şunıñ içün tüzeltmeni çıqaruv c²-ni büyüte.

Çıqaruv fikri: b tarafınıñ CB doğrusına işaretli proektsiyası b cosC, yükseklik b sinC. B-ge mesafeniñ kvadratı (a−b cosC)²+(b sinC)². Qavuslarnı açıp, sin²C+cos²C=1 qullansaq formula çıqa. Proektsiya menfi ya da B-den öte olsa, gorizontal uzunlıqnı modul boyu alamız; kvadratı deñişmey. AMSI: teoremalar ve isbatlar.

Yarım çember: cos120° < 0

OP−11120°cos120° = −1/2sin120° = √3/2

1 · C-ge yönler: 60° ve 60°

60°60°4040AB40C

2 · D-ge yönler: 30° ve 90°

30°90°AD = 80/√3AB40D

3 · ACD üçköşeligi CD mesafesini bere

30°CD = 40/√3AB40CD

SSA: eki kesişüv, eki üçköşelik

ACB₁B₂30°b = 10r = 7
Panel 1 — birim yarım çember: 120° noqtası (−1/2;√3/2). Paneller 2–4-niñ teñ miqyası ortaq, uzunlıqlar metrlerde: AB=40, C=(20;20√3), D=(40;40/√3), A-ğa nisbeten, AB gorizontal. Er hedef içün ölçengen köşeler ayrı, soñ ACD-den CD mesafesi tapıla. Soñki panelniñ öz miqyası bar: A=30°,AC=b=10,CB₁=CB₂=a=7. B₁ A-ğa yaqın, köşe B₁ küt; B₂ uzaq, köşe B₂ keskin. Yardımcı çember eki imkânnı da körsete.

İlk adımnı nasıl seçmek kerek?

  • Bir taraf ve eki köşe: üçünci köşeni tapıp sinus teoremasını qullanmaq.
  • Eki taraf ve aralarındaki köşe, SAS: üçünci tarafnı kosinus teoreması bere.
  • Üç taraf, SSS: evel üçköşelik teñsizliklerini teşkerip, cosC=(a²+b²−c²)/(2ab)-den köşeni tapmaq.
  • Eki taraf ve biriniñ qarşısındaki köşe, SSA: bütün mümkün köşelerni teşkermek; cevap tek olmaya bile.

Tek köşeler uzunlıqlarnı belgilemey: olar şekilni bere, miqyasnı degil.

Bir esas — eki yetişilmez noqta

Tegizlik modelinde AB=40 m. C ve D hedefleri esasnıñ bir tarafında. Dört iç köşe ölçengen:

  • C içün: ∠CAB=60°, ∠CBA=60°.
  • D içün: ∠DAB=30°, ∠DBA=90°.

ABC-de üçünci köşe 60°, demek AC=40·sin60°/sin60°=40 m. ABD-de üçünci köşe 60°, demek AD=40·sin90°/sin60°=80/√3 m.

A-dan eki yön de AB şavlesiniñ bir tarafına ölçengen, demek ∠CAD=60°−30°=30°. Üçünci ACD üçköşeliginde şimdi eki taraf ve aralarındaki köşe belgili:

(CD)^(2) = (40)^(2) + (((80)/(√(3))))^(2) − 2 ⋅ 40 ⋅ (80)/(√(3))cos⁡(30°) = (1600)/(3).

Demek CD=40/√3≈23,09 m. Soñunda yuvarlaymız. Tek AB esası boyu yürmek mümkün edi; AC,AD ve CD esaplandı. Yerni tegizlik, yönlerni tam dep alamız. Esas ve köşe ölçevleriniñ aqiqiy hataları bu ideal neticege kirmegen.

SSA: kalkulâtor ekinci üçköşelikni gizleye bile

A=30°, a=7, b=10 olsun. Sinus teoreması boyu sinB=b sinA/a=5/7. Kalkulâtor B≈45,58° bere, amma 180°−B≈134,42° de aynı sinusqa saip. A=30° ile ekisi de musbet üçünci köşe qaldıra, şunıñ içün eki ayrı üçköşelik bar.

Sızmada AC=10 ve AC-ge 30° köşe yapqan AB şavlesi sabit. Merkezi C, radiusı 7 olğan çember şavleni B₁ ve B₂-de kese. Uyğun AB uzunlıqları kvadrat teñlemeden de çıqa: c=5√3±2√6, yani taqriben 3,76 ya da 13,56.

Er SSA berilgeni eki çezim bermey. Esaplanğan sinus 1-den büyük olsa, üçköşelik yoq; er mümkün köşeni A+B<180° boyu ayrı teşkeremiz. AMSI: eki manalı al.