Kompleks sayılar: eki koordinatalı sayı

Kursnıñ qoşma mevzusı. Kvadrat tamırlar, birim dairesi ve köşe toplama formulaları kerek. Geometrik añlamlar mında añlatıla; ayrı geometriya kursı kerek degil.

Kerçek oqta x²+1=0 çezimi yoq. Kompleks sayılar kerçeklerni keñlete: i²=−1 hasiyetli i-ni kirsetip, sayılarnı a+bi şeklinde yazamız. Endi i de, −i de bu teñlemeni sağlaya.

$i^2=-1,\qquad z=a+bi\quad(a,b\in\mathbb R).$

Kerçek qısım a, hayaliy qısım ise bütün bi degil, kerçek koeffitsiyent b. Eki qısım da birdey olsa sayılar teñ. b=0-da adi kerçek sayı alına. «Hayaliy» — ad, obyektniñ kerçekligine qıymet degil.

Bir yañı qaide ile arifmetika

Koordinatalarnı toplaymız; çarpımda qavuslarnı açıp i²-ni −1-ge deñiştiremiz:

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,$

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.$

Meselâ (1+2i)+(3−i)=4+i, (1+2i)(3−i)=5+5i. Çıqaruv da koordinata boyuncadır. i dereceleri tekrarlana: i,−1,−i,1, soñ yine i. OpenStax

a+bi-niñ eşlenigi a−bi. Çarpımları a²+b² kerçek, sıfırdan başqa sayıda müsbet. Bölmek içün pay ve paydanı paydanıñ eşlenigine çarpamız:

$\frac{1+2i}{1-i}=\frac{(1+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{-1+3i}{2}.$

0-ge bölmek olmaz; c+di≠0 olsa c²+d² müsbet. Teşkerüv: ((−1+3i)/2)(1−i)=1+2i.

Düzlem, uzunlıq ve köşe

a+bi-ni (a,b) noqatı dep kösteremiz. Yatıq oq kerçek, tik oq hayaliy. Modul başlanğıçtan noqatqa uzaqlıq: bu uzunlıq kvadratı bir-birine tik koordinata kesmeleriniñ kvadratları summasıdır.

Sıfırdan başqa z içün müsbet kerçek oqtan yöneliş radian ile argument φ-ni bere. Bütün k içün φ+2πk köşeleri aynı yöneliştir. Sıfırnıñ modulı 0, amma argumenti belgilenmegen.

$|z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi),\quad r=|z|>0.$

Bu trigonometrik şekil. a=r cos φ, b=r sin φ olğanından koeffitsiyentler evvelki sayını qaytara. Modul ve trigonometrik şekil.

Çarpım miqyas ve yönelişni deñiştire

Eki sıfırdan başqa sayı içün sinus ve kosinus toplama formulaları:

$z_1z_2=r_1r_2[\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)].$

Modullar çarpıla, argumentler tam devirge qadar toplana. Modulı 1, argumenti π/2 olğan i-ge çarpuv noqatnı saat tiline qarşı çeyrek devir döndüre, uzaqlıqnı deñiştirmey:

$i(1+2i)=-2+i,\qquad |1+2i|=|-2+i|=\sqrt5.$

i-ge çarpuv

z=1+2i → iz=−2+i

Bütün oq (1,2)-ge; ştrihli oq i-ge çarpqandan soñ (−2,1)-ge. Eki modul da √5. Oq miqyasları birdey: yatıq ve tik birimler teñ; köşe π/2 radian.

2i-ge çarpuv aynı dönüv ve eki qat uzaqlıq berer edi. Sıfırğa çarpuv er şeyni başlanğıçqa yığa; onda yöneliş belgilenmegen. Kompleks arifmetika koordinata esabını uzunlıq ve köşe amelleri ile bağlay; kerçek oq bu düzlem içinde qala.

Dal · Terenrekİhtiyari · keçmek mümkün

Derece ve bütün kompleks tamırlar

Tekrarlı çarpuv müsbet bütün n içün Muavr formulasını bere:

$z^n=r^n[\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)]\quad(n=1,2,3,\ldots).$

Ters mesele wⁿ=z-de sıfırdan başqa z içün n ayrı kompleks tamır bar:

$w_k=\sqrt[n]{r}\left[\cos\left(\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right)\right],\quad k=0,\ldots,n-1.$

Mında n≥1 bütün, r>0, r tamırı müsbet kerçek. Köşeni bölmeden evvel tam devirler farqlı yönelişler doğura. z=1, n=3 içün bular 1 ve −1/2±i√3/2; er biriniñ kubı 1. z=0 içün tek w=0. Yegâne kerçek kub tamırı ve bütün kompleks tamırlar — farqlı añlaşuvlar. Dereceler ve tamırlar, OpenStax §10.5.