Teñleme muvazenet kibi: çezimlerni yoğaltmadan meçulnı tapmaq

Üç birdey mal ve 40 grivnalıq yetkizüv beraber 250 grivna tura. Bir malnıñ fiyatı ne? $x$ onıñ grivna cinsinden fiyatı olsun. Esap $3x+40=250$ bere; bundan $x=70$ . Cevapqa kelmek içün eki tarafnı aynı şekilde deñiştirip, er adımnı keri qaytarmaq mümkünmi dep baqamız.

Deñişici meçulnı adlandıra, mümkün qıymetler şartları ise yazılışnıñ qayda manalı olğanını belgiley. Bunda cebir er aqiqiy $x$ -ke izin bere; fiyat manası menfiy olmağan qıymetni talap ete.

Kök teñlikni doğru yapa

Teñleme — meçulları olğan teñlik. Bir meçullı teñlemeniñ kökü, ya da çezimi, yerine qoyğanda teñlikni doğru yapqan mümkün sayıdır. Bizde $3\cdot70+40=250$ ; 60 uyğun degil, çünki 220 bere.

Teñküçlü teñlemeler aynı çezimler çoqluğına malik. Onı saqlamaq içün eski teñlikten yañısını almaq yetmez: ters keçiş de mümkün olmalı.

Eki taraftan 40 çıqaramız: $3x=210$ . Eki tarafnı sıfır olmağan 3-ke bölemiz: $x=70$ . Eki amelni de tersine yapmaq mümkün: 3-ke çarpıp 40 qoşmaq. Demek, iç bir kök yoğalmadı ve qoşulmadı.

Belli ifadeni qoşmaq: ↔ aynı mümkün saada
İfadege bölmek: ↔ yalñız o ≠ 0 olsa
Kvadratqa kötermek: ⇒ namzetlerni teşker

Eki tarafta aynı amel teñlikni saqlay. Muvazenet grivna esabınıñ oşatuvıdır, kütle modeli degil.

Azanı keçirmek — amelniñ qısqa yazılışı

$5x-8=2x+13$ -te eki taraftan $2x$ çıqarıp 8 qoşamız. $3x=21$ , yani $x=7$ . Keçirgende işaretni deñiştirmek sihir degil: eki tarafqa qarşı ifadeni qoşuvnı qısqa yaza.

Aynı belgili ifadeni qoşmaq ya da çıqarmaq başlanğıç saada çezimlerni saqlay. Aynı ifadege çarpmaq ya da bölmek yalñız o belgili ve sıfırdan farqlı olğan yerde teñküçlüdir. Sabit sıfır olmağan sayı bu şartnı avtomatik qanaatlandıra. OpenStax §2.2-de teñlik hususiyetleri.

ax = b içün üç netice

Sadeleştirgenden soñ sızıqlı meseleler $ax=b$ şekline kele; $a,b$ berilgen sayılardır. $a\ne0$ olsa, bir çezim bar: $x=b/a$ .

Amma $a=0$ ayrı baqış talap ete. $0x=0$ er aqiqiy $x$ içün doğru. $0x=5$ er $x$ içün yanlış, demek kök yoq. Meselâ, $2(x+1)=2x+2$ ifadesi $0=0$ -ğa, $2(x+1)=2x+3$ ise $0=1$ -ge kele. $x$ -ni tapmaq içün sıfırnı sıfırğa bölmek olmaz.

Yoğalğan ve artıq kökler qaydan çıqa

$x(x-2)=0$ kökleri 0 ve 2-dir. Şartsız $x$ -ke bölsek, $x-2=0$ qala, 0 kökü yoğala: tam o yerde bölüv yasaq edi. Sıfır çarpım qaidesini qullanmaq ya da $x=0$ ve $x\ne0$ allerini ayrı baqmaq doğru.

Kvadratqa köterüv ters tesir ete bile. $x=-2$ -den $x^2=4$ çıqa, amma ekinci teñleme $x=2$ -ge de izin bere. Bu netice teñlemesi: er eski çezim qala, amma yañıları çıqa bile. Olar başlanğıç teñlemege köre artıq köklerdir. $\Rightarrow$ bir yönni, $\Leftrightarrow$ eki yönni bildire.

Tarmaq · TeşkerüvNamzetlerni teşkermek kerek, amma er vaqıt yeterli degil.

Yerine qoyuv neyi tüzetalmaz

2-ni $x=-2$ -ge qoyuv artıq kökni çıqara. Amma $x$ -ke bölgenden soñ $x(x-2)=0$ içün yalñız 2 tapsaq, teşkerüv onı tasdıqlar, yoğalğan 0-nı köstermez. Tam cevapnı doğru keçişler ya da bütün allerge ayıruv temin ete; yalñız tapılğan namzetlerni teşkermek yetmez.

Teñlemeni çezmek — bütün mümkün köklerni tapmaq ya da olarnıñ yoqluğını isbatlamaq demektir. Esapta 70 grivna doğru toplamnı qaytara; daa mürekkep meselelerde er keri qaytarılmaz adımnı da kontrol etmek kerek.