Ters nisbetlilik: eki qat artuv neden yarısını bere

120 saife işlemek kerek. Saatına 20 saife mahsuldarlıqta iş 6 saat, 40 saifede 3 saat devam ete. Mahsuldarlıqnı eki qat arttırmaq neden müddetni yarısına endire? İş miqdarı sabit: mahsuldarlıq ile müddetniñ çarpımı deñişmey.

Ratsional ifadeler ve funktsiyalar kerek. Misal şartlı: sabit temp, birdey qıyınlıqtaki saifeler, azırlıq, teneffüs ve tekrar işlev yoq.

Evvel sabit çarpım, soñ kesir

$p>0$ saife/saatta sayısal mahsuldarlıq, $t>0$ saatlarda sayısal müddet olsun. $pt=120$ -dan:

t=\frac{120}{p}.

120 saifelerge uyğun: $(\text{saife}/\text{saat})\cdot\text{saat}=\text{saife}$ . $p=30$ olsa, $t=4$ saat. Mahsuldarlıq üç qat artsa, aynı şartlarda müddetniñ üçte biri qala.

Ters nisbetlilik umumiy qaidesi sıfır olmağan sabit $k$ içün $y=k/x$ . Teñquvetli $xy=k$ yazuvı ne saqlanğanını köstere. Bu, «biri artqanda ekincisi eksile» demekten daa küçlü şart. Meselâ, $y=10-x$ da eksile, amma $xy$ sabit degil. Ters nisbetlilik, OpenStax §7.5.

Bir meydan, farqlı şekiller

Meydanı 12 cm² tiktörtkoşeniñ santimetrlerde sayısal yanları $xy=12$ , yani $y=12/x$ şartını qandıra. $(2,6)$ , $(3,4)$ ve $(6,2)$ çiftleriniñ er biri aynı meydan bere. Bir yannı eki qat uzatsaq, ekincisini yarısına qısqartmaq kerek.

Bir meydan: 12 cm²

Musbet dal y=12/x

Tiktörtkoşeler bir şartlı miqyasta. Grafikte musbet dalnıñ bir qısmı, o resimniñ tışına devam ete. Noqtalar (2,6), (3,4), (6,2); eki oqta da miqyas birdey adımlı.

Tiktörtkoşeler yalñız musbet uzunlıqlarnı modelley. Saf cebirde $y=12/x$ menfiy $x$ içün de belgili; o zaman $y$ de menfiy. Tam grafik eki dalla giperbola. $k>0$ olsa, dallar I ve III çeyreklerde; $k<0$ olsa, II ve IV çeyreklerde.

Oqlar neden yaqınlaşuvnı tasvirley

Payda sebebinden $x=0$ yasaqlanğan. Musbet $x$ sıfırğa yaqınlaşqanda $12/x$ sınırsız arta: 0,1-de 120, 0,01-de 1200. $x$ büyügen sayın netice sıfırğa yaqınlaşa: 120-de 0,1, 1200-de 0,01.

Demek $x=0$ ve $y=0$ bu grafikniñ asimptotaları: irişilgen sıfır qıymetlerni degil, yaqınlaşuvnı tasvirleyler. Soñlu sıfır olmağan $x$ içün $12/x$ iç bir vaqıt sıfır degil. Bu tam bu funktsiyanıñ hususiyeti; başqa grafikler yatay asimptotalarnı kese bile. Giperbola ve asimptotalar, OpenStax §5.6.

«Ters» sözüniñ eki manası

Ters nisbetlilik sabit çarpımnı tasvirley. Ters funktsiya neticeden başlanğıç kirişni qaytara. $f(x)=2x$ içün qaytuv qaidesi $f^{-1}(y)=y/2$ , $1/(2y)$ degil. Mında $f^{-1}$ , $1/f$ kesiri demek degil.

Vaqıt modeli de aqiqiy işte sıfır saat vaade etmey. Sabit 1 saat azırlıq qoşulsa, umumiy müddet $T=1+120/p$ ola; endi $pT=p+120$ sabit degil. «Eki qat — yarısı» qaidesinden evvel ne saqlanğanını ve miqyaslanmağan qoşulan bar-yoqluğını teşkeriñiz.