Qutunıñ köşesini kessek, yañı sıñır mecburen kvadrat olmaz. Atta kubnı üçköşeli ya da altıköşeli kesim berecek etip kesmek mümkün. Tek yassı sızmağa baqıp aqiqiy şekilni nasıl tapamız? Rastkele noqtalarnı birleştirmek yerine, kesimni yüz-yüz qurarmız.

Neni kesiştiremiz?

Ög şartlar: dörtköşelikler, doğrular ve tüzlemler, proektsiyalar.

Çoqyüzlük — yüzeyi soñlu sayıda tüz çoqköşelikten ibaret cisim. Bu çoqköşelikler — yüzler, ortaqları olğan taraflar — qıralar, qıra ucları — töpeler. Kubda 6 yüz, 12 qıra ve 8 töpe bar; ortaq qıranı bir kere sayaymız.

Mında qabarıq çoqyüzlüklerni baqamız. Cisimniñ tüzlemnen kesimi — em cisimge, em tüzlemge ait bütün noqtalar. Tüzlem içten keçse, kesim tolu qabarıq çoqköşelik ola: tarafları yüzlerde, töpeleri qıralarda, bazı allarda cisim töpelerinde yata. Bu tek kontur degil: kontur kesimniñ sıñırıdır. Tüzlem tek töpege ya da qırağa toqunsa, kesişüv noqta ya da kesik şeklinde yoqlaşa.

Proektsiya başqadır: o bütün kölemdeki noqtalarnıñ tasvirlerini ala bile. Kesim iç bir şeyni köçürmey: tek kesici tüzlemniñ öz noqtalarını qaldıra. Kubnıñ ekrandaki silueti kesim şeklini belgilemey.

Öz kubımız ve üç berilgen noqta

Qırası 5 m olğan ABCDA₁B₁C₁D₁ kubını alayıq. Alt yüzü ABCD; A₁ A üstünde, B₁ B üstünde ve ilâhre. Vertikal qıralarda K∈AA₁, L∈BB₁, M∈CC₁ noqtalarını AK=1 m, BL=2 m, CM=4 m etip belgileyik. Bir doğruda yatmağan bu üç noqta bir tüzlemni belgiley.

1 · Eki qoñşı yüz

ABCDKLM

2 · K-den LM-ge parallel

ABCDKLMN

3 · Qapalı KLMN kesimi

ABCDKLMN
Üç adım bir 5 m qıralı kubdan esaplandı: AK=1, BL=2, CM=4, DN=3 m. Bu şertli parallel proektsiya; ekranda köşe ya da uzunlıq ölçemeymiz. Kesik AD, DC ve DD₁ qıraları saylanğan baqıştan gizli; ekinci panelde renkli kesik KN — LM-ge yardımcı parallel, üçüncide kesim tarafı ola. Er yüzde tek bir aynı kesici tüzlemniñ noqtaları birleştirildi. Boyav kesimniñ öz tüz bölgesini belgiley, kölge ya da bütün kub proektsiyasını degil.
  1. Ög ve sağ yüzler. K ve L bir ABB₁A₁ yüzünde, demek KL bu yüzniñ kesici tüzlemnen kub içindeki kesişüvidir. Aynı şekilde LM BCC₁B₁ yüzünde yata. Bular kesimniñ qoñşı tarafları.
  2. Dördünci noqta. Kubnıñ sol ve sağ yüzleri parallel. Bir kesici tüzlem olarnı parallel doğrular boyunca kese: ADD₁A₁ yüzünde K-den LM-ge parallel doğru keçiremiz. DD₁ ile kesişüvini N dep adlandıramız.
  3. Qapatmaq. Arqa DCC₁D₁ yüzünde N-ni M-nen birleştiremiz. KLMN alına. KL∥NM ve LM∥KN, demek bu parallelogram.

Sağ yüzde L-den M-ge keçkende bir gorizontal kub tarafı boyunca yükseklik 4−2=2 m arta. Sol yüzde parallel KN aynı köterilüvni bere: DN=1+2=3 m. Bu 5 m qıranıñ içindedir. Kesim üst ve alt yüzlerge toqunmay: dört vertikal yüzniñ er birinde kesişüv doğrusını tam qurğanımız ve ucları vertikal qıralarnıñ içinde olğanı belli.

Sızılğan parallelogram fezada mecburen tiktörtkoşelik degil. Ög yüzde KL-niñ gorizontal yolu 5 m, köterilüvi 1 m; sağ yüzde LM-niñ yolu 5 m, köterilüvi 2 m. Fezaviy uzunlıqları:

(KL)^(2) = (5)^(2) + (1)^(2) = 26, (LM)^(2) = (5)^(2) + (2)^(2) = 29.

Demek, kubnıñ teñ qıraları kesimniñ qoñşı taraflarını atta teñ de yapmay. Sızılğan uzunlıqlarnı ölçemek Pifagornıñ yerini tutmay.

Qoşma qurmaEsas kesim parallel yüzler vastasınen artıq quruldı.

Dallanma · İzler usulı

Bir tüzlemniñ ekinci tüzlemdeki izi — olar ayrı ve parallel olmağanda kesişüv doğrusıdır. Bizim misalde KL-ni AB doğrusınen T-de, LM-ni BC doğrusınen U-da kesişkenge qadar uzataymız. Eki noqta da kub tışında: T A-dan ötede, U B-den ötede C-ge ters yönde. TU — kesici tüzlemniñ ABCD esas tüzlemindeki izi.

W=TU∩AD olsun, bu da A-dan öte uzantıda. W ve K em kesici tüzlemge, em sol yüz tüzlemine ait. Demek WK — olarnıñ kesişüv doğrusı; WK∩DD₁ gene N-ni bere. Yardımcı doğrularnı cisimden tışqa uzatmaq mümkün, amma kesim tarafları tek yüzler içindeki kesiklerdir. Kerekli doğrular parallel ve kesişmese, kesişüv noqtası uydurmaymız: başqa yardımcı yüz saylaymız ya da parallellikni qullanamız.

Neticeni nasıl teşkeremiz?

Kesimniñ qoñşı töpeleri bir ortaq yüzde yatmalı. Eki yüzniñ ortaq qırasında eki yaqın noqta degil, bir aynı noqta olmalı. Kontur qapana; bizim yoqlaşmağan alımızda iç bir taraf «avada asılmay». Kesik sızıq, imzağa köre, közden gizli kub qıralarını ya da yardımcı doğrularnı belgiley, başqa geometriya türüni degil.

Kubnıñ altı yüzü bar, er biri qabarıq yoqlaşmağan kesimge eñ çoqu bir taraf bere bile. Şunıñ içün üçköşelikten altıköşelikke qadar çoqköşelikler mümkün; yedi taraf mümkün degil. Bu sıñırnı qabarıq olmağan cisimlerge teşkermeden köçürmeymiz.

Menbalar ve sıñırlar

Yüzler, izler ve parallel yardımcı doğrular usulları İsterniñ 10-ncı sınıf geometriyasındaki §§2,7 ile teşkerildi. University of Luxembourg, Cut the Cube qabarıqlıqnı ve mümkün şekillerni tasdıqlay; şeritler vastasınen tasnif kesimni sıñırlarnıñ kesişüvi olaraq başka baqıştan körsete. Sayılar, belgiler ve SVG özümizniki. Bu geometrik modeldir; material qalınlığı ve alet qullanuv talimatı yoq.