Limit, üzülmezlik ve asimptota

Yarım, çeyrek ve soñraki yarım paylarnı toplasaq, soñlu adımda tam bir çıqmay. Limiti neden 1? Limit er türlü talap etilgen doğruluqqa yetmek mümkün olğan yaqınlaşmanı tasvirley; ayrı adımda teñlik şart degil. Evvel giperbola, grafik deñiştirmeleri, geometrik summa ve radianlar.

$S_n=\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{2^n}=1-2^{-n},\qquad\lim_{n\to\infty}S_n=1.$

Qalıntı 2⁻ⁿ. Er berilgen müsbet hata içün öyle bir adım seçmek mümkün ki, ondan soñ bütün qalıntılar kiçik olsun. Onuncı adımdan soñ 0,001-den kiçik. Yalñız bir qaç yahşı yaqınlaşma degil, bütün soñraki azalar kerek. Soñsuzlıq indeksniñ sınırsız artmasını añlata, yerine qoyulacaq sayı degil.

Noqtağa yaqınlaşmaq ve anda esaplamaq

$g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\quad(x\ne1),\qquad\lim_{x\to1}g(x)=2.$

x=1-de payda sıfır, g(1) yoq. Amma yanındaki bütün izinli x-ler içün grafik x+1 doğrusınen birdey; eki taraftan 2-ge yaqınlaşa. Limit tarifi x≠a içün.

Üzülmezlik

x=1-de boşluq

x=1-de sıçrav

Birdey adımlı miqyaslar, şartlı birimsiz qıymetler. Tolu noqta qoşulğan, boş noqta çıqarılğan. Yuqarıda x+1; ortada x=1-siz doğru; aşağıda solda 1, sağda 3 ve x=1 qoşulğan.

Birinci panelde f(x)=x+1 üzülmez: noqtadaki qıymet ve eki taraflı limit bar ve birdey:

$\lim_{x\to a}f(x)=f(a).$

Ekinci panelde qıymet yoq; boşluqqa 2 qoymaq mümkün. Üçünci şartlı tarif x<1-de 1, x≥1-de 3. Sol limit 1, sağ 3; ortaq limit yoq. Bir qıymet qoymaq sıçravnı ketermey. OpenStax

Asimptota ne demek

$\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty,\quad\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty;\quad\lim_{x\to\pm\infty}\frac1x=0.$

1/x içün x=0 tik, y=0 yatıq asimptota. Eki tarafta işaretler başqa; soñsuzlıq soñlu limit degil. Başqa grafik yatıq asimptotanı kesip keçebilir: tarif uzaqtaki davranış aqqında.

Dal · Terenrekİhtiyari · keçmek mümkün

Limite keçmek ne vaqıt mümkün

Eki soñlu limit bar olsa, summa, farq ve çarpımnıñ limiti olarğa uyğun ameldir. Bölüvde paydanıñ limiti sıfır olmamalı. Sınırlı monoton sıra yaqınlaşa; tek sınırlılıq yetmey, (−1)ⁿ teprene. Şartlar limit qanunları ve monoton yaqınlaşma teoreması ile teşkerildi; umumiy isbatlar mında yoq.

Esas trigonometrik limit:

$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$

Argument radianlarda. Birlik çemberde üçköşelik ve sektor meydanlarını qıyaslamaq 0<x<π/2 içün cos x≤sin x/x≤1 bere. Eki sınır 1-ge yaqınlaşa; aradaki ifade de 1-ge sıqışa. Çiftlik menfiy x-ke de neticeni keñişlete. Dereceli argumentte netice π/180 olur edi. Trigonometrik limitler.

Koşi aniqlığı ve üzülmesizlik teoremaları

a-ğa istelgen qadar yaqın mümkün x≠a noqatları bar dep alayıq. Koşi tarifinde er ε>0 hata içün öyle δ>0 mesafe tapılmalı ki bütün mümkün x şu şartnı sağlasın:

$0<|x-a|<\delta\quad\Rightarrow\quad|f(x)-L|<\varepsilon.$

x≠1-de g(x)=x+1 içün |g(x)−2|=|x−1|, demek δ=ε yaraşa. Mesafe istenilgen aniqlıqqa bağlı, soñ seçilgen x-ke degil. Tam tarif.

Boltsano–Koşi teoreması: [a,b]-de üzülmesiz funktsiya f(a) ve f(b) arasındaki er qıymetni ala. Uçlarda ters işaretler içte sıfırnı garantiyley. Bu barlıq, yegânelik degil; üzülmesizliksiz netice keçersiz. Ara qıymetler.

Veyyerştrass teoremaları: qapalı, sınırlı [a,b]-de üzülmesiz funktsiya sınırlı ve maksimum-minimumına irişe. Açıq (0,1)-de f(x)=x içün 0 ve 1 qıymetlerine irişilmez. Kesme şartları müim; umumiy isbatlar mında berilmey. Ekstremal qıymetler.

Qıymetler qayerge yaqınlaşa, noqtada ne qıymet berilgen ve olar birdeymi — bu üç sualnı ayırıñız. Boşluq ve sıçrav üzülmezlikni bozsa da, cevapları başka.