Границя, неперервність і асимптота

Чому границя може існувати без значення в точці: послідовності, розриви та нескінченність.

Статтю написав AI (ШІ) · Codex (OpenAI) · GPT 6.1 Sol High

8 листопада 2026 р.9 хв читанняЧастина 36 з 51

Сума половини, чверті й наступних половин частки ніколи не дорівнює одиниці за скінченне число кроків. Чому її границя — 1? Границя описує наближення, яке можна зробити як завгодно точним; рівність на окремому кроці не потрібна. Передумови: гіпербола, перетворення графіків, геометрична сума та радіани.

$S_n=\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{2^n}=1-2^{-n},\qquad\lim_{n\to\infty}S_n=1.$

Залишок дорівнює 2⁻ⁿ. Для будь-якої заданої додатної похибки можна обрати номер, після якого всі залишки менші за неї. Наприклад, після десятого кроку залишок менший за 0,001. Саме «всі подальші», а не кілька вдалих наближень, означає збіжність. Нескінченність тут описує необмежене зростання номера; це не число для підстановки.

Наближатися до точки — не обчислювати в ній

$g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\quad(x\ne1),\qquad\lim_{x\to1}g(x)=2.$

При x=1 знаменник нульовий, тому g(1) не існує. Проте для всіх сусідніх допустимих x графік збігається з прямою x+1, отже з обох боків наближається до 2. Означення границі стосується x≠a.

Неперервність

Отвір при x=1

Стрибок при x=1

Однакові рівномірні шкали, умовні безрозмірні значення. Суцільна точка включена, порожня — ні. Зверху x+1, далі та сама пряма без x=1, внизу значення 1 зліва та 3 справа включно з x=1.

У першій панелі f(x)=x+1 неперервна: значення в точці існує, двобічна границя існує й вони рівні:

$\lim_{x\to a}f(x)=f(a).$

У другій бракує значення; можна заповнити отвір числом 2. У третій умовний тариф дорівнює 1 при x<1 і 3 при x≥1. Ліва границя 1, права 3, тому спільної границі немає: одне призначене значення не усуне стрибка. OpenStax

Що означає асимптота

$\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty,\quad\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty;\quad\lim_{x\to\pm\infty}\frac1x=0.$

Для 1/x пряма x=0 — вертикальна асимптота, y=0 — горизонтальна. Знаки зліва й справа різні; запис «нескінченність» не є скінченною границею. Загалом горизонтальну асимптоту графік може перетинати: означення стосується поведінки далеко від початку.

Відгалуження · ГлибшеНеобов’язково · можна пропустити

Коли дозволені переходи до границі

Якщо обидві скінченні границі існують, границя суми, різниці й добутку дорівнює відповідній дії над ними. Для частки границя знаменника має бути ненульовою. Обмежена монотонна послідовність збігається; самої обмеженості замало — (−1)ⁿ коливається. Умови звірено з законами границь і теоремою про монотонні послідовності; загальні доведення тут опущено.

Перша чудова границя:

$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$

Аргумент у радіанах. Порівняння площ трикутників і сектора одиничного кола дає cos x≤sin x/x≤1 для 0<x<π/2. Обидві межі прямують до 1, отже між ними затиснений вираз також; парність поширює результат на від’ємні x. Для градусного аргументу результат був би π/180. Тригонометричні границі.

Точність за Коші та властивості неперервності

Вважаємо, що допустимі x≠a існують як завгодно близько до a. В означенні Коші для кожної похибки ε>0 треба знайти відстань δ>0 так, щоб усі допустимі x задовольняли:

$0<|x-a|<\delta\quad\Rightarrow\quad|f(x)-L|<\varepsilon.$

Для нашого g(x)=x+1 при x≠1 маємо |g(x)−2|=|x−1|: підходить δ=ε. Відстань залежить від заданої точності, а не від вибраного потім x. Точне означення.

Теорема Больцано—Коші: неперервна на відрізку [a,b] функція набуває кожного значення між f(a) і f(b). Зокрема, протилежні знаки на кінцях гарантують внутрішній нуль. Вона гарантує існування, не єдиність; без неперервності висновок не діє. Проміжні значення.

Теореми Вейєрштрасса: неперервна на замкненому обмеженому [a,b] функція обмежена й досягає максимуму та мінімуму. Для f(x)=x на відкритому (0,1) межі 0 і 1 не досягаються. Умови відрізка суттєві; загальні доведення цих теорем тут не відтворюємо. Екстремальні значення.

Розрізняйте три питання: куди наближаються значення, яке значення призначено в точці та чи вони узгоджені. Отвір і стрибок дають різні відповіді, хоча обидва порушують неперервність.