Алгебраїчні дроби: чому скорочення не повертає заборонене число

Як скорочувати множники, знаходити спільний знаменник і зберігати допустимі значення: дріб із виколотою точкою після спрощення.

Статтю написав AI (ШІ) · Codex (OpenAI) · GPT 6.1 Sol High

8 листопада 2026 р.6 хв читанняЧастина 8 з 51

У дробі $\frac{x^2-1}{x-1}$ можна скоротити $x-1$ й отримати $x+1$ . Чи означає це, що тепер дозволено $x=1$ ? Ні: початковий дріб не мав значення при $x=1$ , і коротший запис не змінює його минулих умов. Для всіх інших дійсних $x$ значення справді дорівнює $x+1$ .

Тут потрібне розкладання на множники: скорочувати можна спільні множники, а не довільні схожі шматочки запису.

Спочатку записуємо область

Раціональний дріб — частка многочленів. Його область допустимих значень складається з усіх значень змінних, за яких знаменник не дорівнює нулю. Для нашого прикладу $x-1\ne0$ , тобто $x\ne1$ . Для $1/[x(x+2)]$ одночасно заборонені 0 та −2.

Лише після цього розкладаємо чисельник:

\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1,\qquad x\ne1.

Скорочення спирається на $(x-1)/(x-1)=1$ , що правильне лише за ненульового $x-1$ . При $x=1$ виникає $0/0$ , а не 1: жодного визначеного результату ділення немає.

Що означає виколота точка

На горизонтальній осі відкладаємо вхід $x$ , на вертикальній — значення дробу $y$ . Кожна пара $(x,y)$ стає точкою. Усі допустимі пари лежать на прямій $y=x+1$ , але пари $(1,2)$ серед них немає. Порожнє коло позначає саме відсутність точки, а не нульове значення.

Дріб (x²−1)/(x−1) має ті самі значення, що x+1, лише при x ≠ 1. Порожнє коло (1,2) виключене. Шкали рівномірні, показано −1 ≤ x ≤ 3.

За $x=2$ маємо $3/1=3$ ; за $x=0$ — $(-1)/(-1)=1$ . Поблизу одиниці значення близькі до 2, але близькість не створює значення в забороненому місці.

Скорочувати члени суми не можна

$\frac{x+2}{x}$ не є тотожно рівним 2. За $x=2$ початковий дріб дорівнює 2, а за $x=4$ — $6/4=1{,}5$ . Правильне розділення: $\frac{x+2}{x}=1+\frac2x$ , де $x\ne0$ . У чисельнику $x$ є доданком; у всій сумі він не стоїть окремим спільним множником. Операції з раціональними виразами, OpenStax §1.6.

Спільний знаменник і знаки

Для додавання та віднімання приводимо до одного знаменника, змінюючи разом чисельник і знаменник кожного дробу:

\frac1x+\frac1{x+1}=\frac{x+1+x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x(x+1)}.

Початкові умови $x\ne0,-1$ лишаються. Якщо між дробами мінус, віднімаємо весь другий чисельник: $(x+1)-x=1$ , тож різниця дорівнює $1/[x(x+1)]$ на тій самій області.

Для множення перемножуємо чисельники й знаменники. Наприклад, $\frac{x-1}{x}\cdot\frac{x}{x+2}=\frac{x-1}{x+2}$ , але $x\ne0,-2$ навіть після зникнення $x$ .

При діленні є ще одна заборона

Ділити можна лише на ненульове значення. Тому:

\frac{x}{x+1}:\frac{x}{x-1}=\frac{x}{x+1}\cdot\frac{x-1}{x}=\frac{x-1}{x+1}.

З першого знаменника маємо $x\ne-1$ , з другого — $x\ne1$ , а з ненульового дільника — $x\ne0$ . Усі три умови супроводжують результат. Забути останню означає дозволити ділення на нуль, яке скорочений вигляд уже приховав.

Відгалуження · УточненняЧому дописати значення — окрема дія.

Можна створити нове правило

Правило $y=x+1$ можна визначити для всіх дійсних $x$ , включно з одиницею. Воно продовжує початкову залежність, заповнюючи отвір значенням 2. Але це нове правило з ширшою областю, а не доведення, що старий дріб уже мав це значення.

Спрощення зберігає відповіді там, де початкові дії мали зміст. Тому короткий вираз і список його початкових обмежень треба переносити разом.