Потік води щохвилини посилюється: умовна витрата q(t)=2+t літрів за хвилину, 0≤t≤4, t — число хвилин. Скільки води надійшло? Множити всю тривалість на початкову витрату не можна. Інтеграл складає малі внески «витрата × час» і переходить до їхньої границі. Потрібні границя та первісна.
Від чотирьох прямокутників до границі
Розіб’ємо час на n рівних частин; у кожній оберемо момент tᵢ* й оцінимо внесок:
Q_(n) = ((∑)_(i = 1))^(n)q((t_(i))^(∗))Δt, Δt = 4/n.
При n=4 ліві кінці дають 2+3+4+5=14 л, праві — 3+4+5+6=18 л. Потік зростає, тому перша оцінка нижча, друга вища. Для довільного n:
L_(n) = 16 − 8/n, R_(n) = 16 + 8/n; L_(n),R_(n)→16.
Визначений інтеграл — спільна границя таких сум при прямуванні найбільшої ширини частин до нуля, незалежна від поділу та вибраних точок, якщо ця границя існує. Для неперервної функції на відрізку вона існує. Означення і знак.
Чотири ліві прямокутники
q=2+t; n=4; L₄=14
Знаки внесків
f=x−1; ∫ f =0; ∫ |f| =1
Як первісна скорочує обчислення
Якщо f неперервна на [a,b], а F — її первісна, формула Ньютона—Лейбніца дає:
((∫)_(a))^(b)f(x) dx = F(b) − F(a), F′ = f.
Внески зміни F на сусідніх частинах додаються: внутрішні значення віднімаються й лишаються кінці. Зв’язок між похідною та накопиченням обґрунтовує цю формулу, а не лише схожість значків інтеграла. OpenStax
Q = ((∫)_(0))^(4)(2 + t) dt = (([2t + ((t)^(2))/(2)])_(0))^(4) = 16.
Отже, 16 л. Одиниці узгоджені: л/хв × хв = л. Стала C у різниці первісних зникає. a,b — межі інтегрування; dx чи dt вказує змінну. Визначений інтеграл є числом, невизначений — сім’єю функцій.
Знакова площа і звичайна площа
Частини під віссю роблять від’ємний внесок. На безрозмірному прикладі f(x)=x−1:
((∫)_(0))^(2)(x − 1) dx = 0, ((∫)_(0))^(2)∣x − 1∣ dx = 1.
Два трикутники мають площі по 1/2: у знаковій сумі вони компенсуються, у площі фігури додаються. Так само інтеграл швидкості дає переміщення, а інтеграл її модуля — пройдений шлях.
Між неперервними графіками беремо «верхня функція мінус нижня». На [0,1] x≥x²:
S = ((∫)_(0))^(1)(x − (x)^(2)) dx = (1)/(6).
Якщо графіки міняються місцями, розбиваємо проміжок у точках перетину або інтегруємо модуль різниці. Площі між графіками.
Міст до об’єму
Площа поперечного перерізу A(x) помножена на малу товщину дає малий об’єм. Для неперервної площі перерізів, перпендикулярних осі x:
V = ((∫)_(a))^(b)A(x) dx; ((∫)_(0))^(3)2 dx = 6.
Наприклад, стала площа 2 м² вздовж 3 м дає 6 м³. Це той самий принцип додавання внесків, а не нова формула для запам’ятовування. Метод перерізів.
Обирайте інтеграл за тим, що накопичується: об’єм води, знакова зміна, площа чи об’єм тіла. Межі, знак та одиниці визначають зміст отриманого числа.