Suv aqımı er daqiqa arta: şartlı q(t)=2+t litr/daqiqa, 0≤t≤4, t daqiqa sayısı. Ne qadar suv keldi? Bütün vaqıtnı başlanğıç aqımğa çarpmaq olmaz. İntegral «aqım × vaqıt» kiçik paylarını toplay ve limitke keçe. Limit ve ilkel funktsiya kerek.
Dört tikköşelikten limitke
Vaqıtnı n teñ qısımğa bölemiz, er birinde tᵢ* anını seçip paynı esaplaymız:
Q_(n) = ((∑)_(i = 1))^(n)q((t_(i))^(∗))Δt, Δt = 4/n.
n=4-te sol uçlar 2+3+4+5=14 L, sağ uçlar 3+4+5+6=18 L bere. Aqım artqanı içün birincisi az, ekincisi ziyade. Er türlü n içün:
L_(n) = 16 − 8/n, R_(n) = 16 + 8/n; L_(n),R_(n)→16.
Belli integral — eñ büyük qısım kenişligi sıfırğa yaqınlaşqanda bu summalarnıñ bölüv ve seçilgen noqtalardan mustaqil ortaq limiti, eger o bar olsa. Qapalı aralıqta üzülmez funktsiyada böyle limit bar. Tarif ve işaretler.
Dört sol tikköşelik
q=2+t; n=4; L₄=14
Paylarnıñ işaretleri
f=x−1; ∫ f =0; ∫ |f| =1
İlkel funktsiya esapnı nasıl qısqarta
f [a,b]-de üzülmez, F onıñ ilkel funktsiyası olsa, esas teorema bere:
((∫)_(a))^(b)f(x) dx = F(b) − F(a), F′ = f.
Qoñşı qısımlardaki F deñişmelerini toplasaq, içki qıymetler qısqara ve uçlar qala. Formulanı integral belgileriniñ beñzerligi degil, türev ve toplanuv bağı esaslay. OpenStax
Q = ((∫)_(0))^(4)(2 + t) dt = (([2t + ((t)^(2))/(2)])_(0))^(4) = 16.
Netice 16 L. Birimler uyğun: L/min × min = L. C farqta yoq ola. a,b — integral uçları; dx yaki dt deñişkenni köstere. Belli integral sayı, belgisiz integral funktsiyalar ailesidir.
İşaretli ve geometrik meydan
Oqtan aşağı qısımlar menfiy pay bere. Birimsiz f(x)=x−1 misalinde:
((∫)_(0))^(2)(x − 1) dx = 0, ((∫)_(0))^(2)∣x − 1∣ dx = 1.
Eki üçköşelikniñ er birinde meydan 1/2: işaretli summada biri birini yoq ete, geometrik meydanda toplanır. Sürat integrali köçüvni, modülüniñ integrali keçilgen yolnı bere.
Üzülmez grafikler arasında yuqarı funktsiyadan aşağısını çıqaramız. [0,1]-de x≥x²:
S = ((∫)_(0))^(1)(x − (x)^(2)) dx = (1)/(6).
Grafikler yer almaşsa, kesişmelerde aralıqnı bölemiz yaki farq modülüni integrallaymız. Grafikler arasındaki meydan.
Acimge köprü
Enine kesim meydanı A(x)-ni kiçik qalınlıqqa çarpsaq, kiçik acim çıqa. x oquna tik kesimlerniñ meydanı üzülmez olsa:
V = ((∫)_(a))^(b)A(x) dx; ((∫)_(0))^(3)2 dx = 6.
3 m boyunca sabit 2 m² kesim 6 m³ bere. Bu ayrı formula degil, aynı paylarnı toplamaq printsipidir. Kesimler usulı.
Ne toplana — suv, işaretli deñişüv, meydan yaki acim — şuña köre integralni seçiñiz. Uçlar, işaret ve birimler cevabınıñ manasını belgiley.