Naqış elementiniñ nushasını başqa yerge qoymaq kerek. Köçürmek, çevirmek ve aks ettirmek — başqa-başqa ameller, amma ölçüler aynı qala bile. Kerek amelni nasıl birmanalı tasvirlemeli?

Tüzlem areketi, ya da izometriya, er eki noqta arasındaki mesafeni saqlay. Aks etüv, dönüş ve parallel köçürme asılğa teñ şekiller bere, amma yerleşüv ve yöneliş tertibini deñiştire bile. Bir qaç areketniñ sırası umumiyetle müim. Üçköşelikler teñligi, koordinatalar ve vektorlar kerek.

Ne saqlana

Dönüştürüv er X noqtasına F(X) obrazını bağlay. Mında baqılğan areketler bütün tüzlemni özüne birebir ve tam eşleştire: er obraznıñ bir aslı bar. Areket şartı er X,Y çifti içün F(X)F(Y)=XY. Yalnız bir uzunlıq ya da bir meydannı saqlamaq yeterli degil.

Şundan kesik uzunlıqları, noqtalarnıñ arada yerleşüvi, köşeler ve perpendikulyarlıq saqlana. Üçköşelik töpeleriniñ obrazlarında üç taraf aynı; üç taraf qaidesi uyğun köşeler teñligini bere. Çoqköşelik perimetri ve meydanı da saqlana. Noqtalarnıñ koordinataları deñişe bile. AMSI, areketler ile teñlik.

Doğruğa köre aks etüv

l doğrusına köre aks etkende XX′ l-ge perpendikulyar, ortası l-de. Oq üstündeki noqtalar yerinde qala. y oqına köre (x;y)→(−x;y); x oqına köre (x;y)→(x;−y).

Er şekilni aks ettirmek mümkün; onıñ evvelden simmetriya oqı olması şart degil. Şekilniñ simmetriya oqı — aks etüvi şekilni özüne keçiregen doğru. Bizim çeşit taraflı üçköşeligimizde böyle oq yoq. Ayna obrazı belgili töpelerni aylanıp çıquv tertibini tersine çevire; yalnız tüzlemdeki köçürme ve dönüşler ile aslına tam uyğunlaştırılmaz.

y-ğa köre aks etüv

-4-22468-4-2246xyOAA′(x;y) → (−x;y)

Merkez simmetriyası

-4-22468-4-2246xyOAA′(x;y) → (−x;−y)

+90° dönüş

-4-22468-4-2246xyOAA′(x;y) → (−y;x)

(3;0) köçürmesi

-4-22468-4-2246xyOAA′(x;y) → (x+3;y)
Er panelde kesik sızıq aynı asıl A(1;1),B(4;1),C(2;3) üçköşeligini, turuncı kontur obrazını körsete. Oqlar ve birlik miqyası deñişmey; er üçköşelikniñ tarafları 3,√8,√5, meydanı 3. A ve A′ belgili; köçürgende A′ asıl B ile bir noqta ola. Aks etüv yöneliş tertibini tersine çevire, diger üç areket saqlay. Ortadaki eki areketniñ merkezi O(0;0). Formula yalnız A-nı degil, er noqtanıñ obrazını belgiley.

Merkez simmetriyası — yarım devir

O merkezine köre X X′-ke keçe ve O XX′-niñ ortası ola. O özü yerinde qala. O(0;0) içün (x;y)→(−x;−y); O(a;b) içün (x;y)→(2a−x;2b−y).

Bu, 180° dönüş, oqğa köre aks etüv degil. Üçköşelikni aylanıp çıquv tertibini saqlay. Şekil bu arekette özüne keçse, merkez simmetriyasına saip. Parallelogramnıñ merkezi diagonallar kesişmesinde; bizim üçköşelikte merkez yoq.

Dönüş: merkez, köşe ve yöneliş

O merkezi ve yöneltilgen α köşesini beremiz. OX mesafesi saqlana, OX şulesi α-ğa döne. Bizim koordinatalarda musbet yöneliş saat oqına qarşı. Başlanğıç etrafında +90° dönüş (x;y)→(−y;x). Saat oqı boyunca 90° ise (x;y)→(y;−x) olur edi.

A(1;1),B(4;1),C(2;3) üçköşeligi +90°-ta A′(−1;1),B′(−1;4),C′(−3;2)-ge keçe. Taraflar deñişmey. Oqlar sabit qalğanda şekilni faal çeviremiz; koordinata sistemasını deñiştirmeymiz. 360° dönüş er noqtanı yerine keltire. AMSI, areketlerni qurmaq.

Parallel köçürme: er kes içün bir deñişüv

t=(p;q) vektorı içün er noqta (x;y)→(x+p;y+q) formulasına köre köçe. t=(3;0) olsa, üçköşelik A′(4;1),B′(7;1),C′(5;3)-ge keçe. Yalnız A-nı köçürmek yeterli degil; aynı deñişüv bütün noqtalarğa kerek.

Mesafe neden deñişmey? Obraz koordinataları farqında (x₂+p)−(x₁+p)=x₂−x₁ çıqa, y içün de aynı. Qoşulğan sabitler mesafe formulasında yoq ola. Sıfır vektor ile köçürme — ayniyet areketi.

Eki amel: sıranı bir noqtada teşkeremiz

R — başlanğıç etrafında 90° dönüş, T — (3;0) köçürmesi olsun. P(2;1) içün:

  • Evvel R, soñ T: (2;1)→(−1;2)→(2;2).
  • Evvel T, soñ R: (2;1)→(5;1)→(−1;5).

Neticeler başka. T∘R yazılışında evvel sağdaki R işley: T(R(P)). Eki areketniñ kompozitsiyası da mesafeni saqlay: ekinci amel birinciden soñki mesafeni, birinci ise ilk mesafeni saqlağan. VCAA–AMSI, dönüştürüvler ve kompozitsiya.

Formulalar ileİhtiyariy · keçmek mümkün

Er angi dönüş ve keri qaytuv

O(a;b) merkezi içün evvel merkez koordinatalarını çıqaramız, çeviremiz, soñ olarnı qaytadan qoşamız:

x′ = a + (x − a)cos⁡α − (y − b)sin⁡α,

y′ = b + (x − a)sin⁡α + (y − b)cos⁡α.

Sinus ve kosinus rejimi uyğun olsa, dereceler de, radianlar da yaray. Keri dönüş köşesi −α, keri köçürme vektorı −t; aynı doğruğa köre eki aks etüv ayniyetni bere. Bazı kompozitsiyalar körsetilgen dört amelden farqlı: aks etüv ve onıñ oqı boyunca köçürme sürüşmeli aks etüvni bere bile. Tam sınıflav mında şart degil.

Sızma elementini uyğunlaştırmaq içün amelniñ adından ğayrı parametrlerini ve sırasını yazamız: oq; merkez ve yöneltilgen köşe; ya da vektor. Soñ uyğun töpelerni ve aralarındaki mesafelerni teşkeremiz.