Er biri bir metr uzunlığında dört çıta areketli menteşeler ile birleştirildi. Sızmada kvadrat çıqtı. Dört teñ uzunlıq köşelerniñ de doğru olmasını teminley mi? Yoq: çerçiveni qıyşaytıp, bütün uzunlıqlarnı saqlamaq mümkün.
Geometriya berilgen şeyni isbatlanması kerek şeyden ayıra. Tarif sözniñ manasını belgiley, aksioma modelniñ başlanğıç qaidesini bere, isbat ise izin etilgen qaidelerden yañı netice çıqara. Ölçev ve inandırıcı sızma araştırmağa yardım ete, amma bu zıncırnıñ yerini tutmay.
Evvel modelni saylaymız
Noqtanıñ ölçüsi yoq, doğrunıñ qalınlığı yoq ve eki tarafqa sıñırsız uzana, düzlemniñ qalınlığı ve kenarı yoq. Bular ideal obyektlerdir. Qalem noqtası ve kâğıtnıñ kenarı olarnı yalnız tasvirley. Doğrunıñ eki noqta arasındaki, uç noqtaları da kirgen parçası kesik dep atala; onıñ uzunlığı saylanğan birim ile berilgen sandır.
Yassı çerçive içün düzlem yeterli. Qutu içün fezanı: uzunlıq, kenişlik ve yükseklikni esapqa almaq kerek. Ekrandaki qutu resmi kene yassıdır; sızılğan qırnıñ yatıqlığı fezadaki kerçek köşeni öz-özünden belgilemey. Bu kursta Evklid modellerini qullanamız. Olarnıñ neticelerini şartlarnı teşkermeden egri yüzge keçirmek olmaz.
Birim de şartlarnıñ bir qısmıdır. 1 m ve 100 cm aynı uzunlıqnı bildire; birimsiz 100 sayı çerçiveniñ ölçüsini bermey.
Fikirniñ üç ayrı vazifesi
Tarif belli bir adnen qanday obyektlerni ataycağımıznı belgiley. Kvadrat — dört teñ tarafı ve dört doğru köşesi olğan dörtköşelik. Doğru köşe 90°, yani tam dönüşniñ dörtte biridir. Taraflarnıñ teñligi köşeler şartını alıp taşlamağa izin bermey. Evklidniñ kvadrat tarifi.
Aksioma saylanğan sistemanıñ başlanğıç qaidesi olaraq qabul etile. Meselâ, eki farqlı noqtadan tam bir doğru keçe. Cetvelni çoq kere qoyğanımız içün aksioma olmaya: o, soñraki fikir yürütüvniñ temelindeki başlanğıç farazdır. Birinci postulat ve muharrirniñ izaatı.
Teorema — isbat etilgen fikir. «Eger …, o vaqıt …» şeklinde birinci qısım şart, ekinci qısım neticedir. İsbat neticeniñ şarttan, tariflerden, aksiomalardan ve evvel isbatlanğan neticelerden ne içün mecburen çıqqanını añlata.
Dört çıtağa ne yetmey
«Bu kvadrat» şartından «dört tarafnıñ episi teñ» neticesi çıqa. Demek, taraflarnıñ teñligi kvadrat içün zarur: onsız kvadrat olmaz. Amma o yeterli degil: kvadrat olmağan şekilniñ de tarafları teñ ola bile.
Kvadrat
Aynı uzunlıqlar, başqa köşe
Sağdaki sızmada da er taraf 1 m, amma bir köşe 90° yerine 60°. Bu, «eger dört taraf teñ olsa, şekil kvadrat» degen fikirge qarşı misaldir. Bütün şekiller aqqındaki fikirni red etmek içün bir böyle misal yeterli. Yüz kvadrat çerçive ise onı isbat etmez edi.
Şart ve neticeniñ yerlerini deñiştirsek, ters fikir çıqa. Onı ayrıca teşkermek kerek. Yeterli şart neticeni teminley: kvadrat tarifindeki bütün taleplerni teşkermek yeterlidir. Eskizde «körüngeni» içün berilgenlerge doğru köşe qoşmañız.
Resimsiz qısqa isbat
Berilgen: M noqtası bir doğru üstünde A ve B arasında yata, AM=1 m ve MB=1 m. AB-ni tapmaq kerek. Ardışıq kesiklerniñ uzunlıqlarını qoşuv qaidesine köre:
AB = AM + MB = 1 m + 1 m = 2 m.
«A ve B arasında» sözleri bu parçalarnıñ qoşulmasını teminley. Cevapnıñ sebebi arifler arasındaki piksel sayısı degil, noqtalarnıñ yerleşüvi ve uzunlıq qaidesidir. Bir cınıstaki miqdarlarnı uyğun birimlerde qıyaslamaq ve qoşmaq kerek. Evklidniñ umumiy añlamları.
Ruletka ne bildire
Ameliy işte «1,00 m» yuvarlaqlanğan ölçev ola bile. Eger ayrıca eñ büyük hata 0,01 m dep berilse, kerçek uzunlıq 0,99 ile 1,01 m arasındadır. O vaqıt eki aynı oquv tam teñlikni isbat etmez. Bu — berilgen hata sıñırı, aralıqqa tüşüv itimallığı degil.
Geometrik neticeden evel sorañız: ne tam berilgen, modelniñ hangi qaideleri qullanılğan ve sızmanıñ körünişi şartnıñ yerini tutmadı mı? Çerçive içün cevap belli: teñ çıtalar farqlı köşelerge izin bere; kvadrat içün köşeler aqqında da şartlar kerek.