Tikköşelikniñ dört tarafına 20 metr çit bar. Eñ büyük meydannı qaysı şekil bere? Türev namzetlerni tapa, amma izinli ölçüler ve aralıq uçları da cevapnı belgiley. İşaretler, parabola ve türev qaideleri kerek.
Bir taraf x metr olsa, ekincisi 10−x. Uçlardaki yozlaşqan tikköşeliklerni matematik sınır olaraq qoşamız:
A(x) = x(10 − x), 0 ≤ x ≤ 10; A(x) = 25 − (x − 5)^(2).
Meydan 25 m²-ni aşmaz; 5 metrlik kvadrat teñlik bere. Şimdi cevabını deñişüvden tapayıq.
Artuv eksilüvge deñişe
A′(x) = 10 − 2x; A′(5) = 0; A(0) = A(10) = 0, A(5) = 25.
(0,5)-te türev müsbet, meydan arta; (5,10)-da menfiy, eksile. + işaretiniñ −-ge deñişmesi yerli maksimumdır. Bütün aralıqta müsbet türev artuv içün yeterli; artqan funktsiyada x³ kibi ayrı sıfır türevler olabilir.
Meydan ve uçlar
A=x(10−x); A(5)=25; A(3)=21
Türev işareti
A′=10−2x
Kritik noqtalar — saanıñ içki noqtaları, anda türev sıfır yaki yoq. Qapalı sınırlı aralıqta üzülmez funktsiya eñ büyük ve eñ kiçik qıymetke yete: kritik noqtalar ve uçlarnı qıyaslaymız. Yerli ekstremum qoñşularnen, umumiy ekstremum bütün izinli kümenen qıyaslana. Tarif ve şartlar.
Ekinci türev ve yañı çeklev
A′′(x) = − 2; (max)_(0 ≤ x ≤ 3)A(x) = A(3) = 21.
Ekinci türev meyil deñişmesini köstere: f″>0-da meyil arta, şekil ∪; f″<0-da eksile, şekil ∩. Mında −2 statsionar noqtadaki maksimumnı tasdıqlay. f″=0 özü netice bermey: x⁴ sıfırda egilüv yönüni deñiştirmey. Grafik şekli.
Yer x≤3 talap etse, 5 izinli degil. [0,3]-te meydan arta; uçta eñ büyük: 21 m², taraflar 3 ve 7 m. Anda türev 4, sıfır degil. Çeklev meseleni deñiştire; model optimumı kerçek yerniñ qolaylığını garantiya etmey. OpenStax
Dal · Terenrekİhtiyari · keçmek mümkün
Teoremalar, orta meyil ve Jensen teñsizlikleri
Ferma teoreması: içki yerli ekstremumda funktsiya türevlenir olsa, türev sıfırdır. Ters iddia yanlış: x³ sıfırda sıfır türevli, amma maksimum yaki minimum yoq.
Roll: f [a,b]-de üzülmez, (a,b)-de türevlenir ve f(a)=f(b) olsa, içerde bir c-de f′(c)=0. A içün 0 ve 10 uçlarında meydan 0; 5-te teget yatıq. İlk eki şartta Lagrange teoreması kesici meylli içki tegetni garantiya ete:
A′(2) = 6 = (A(4) − A(0))/(4 − 0).
[0,4]-te orta meyil 6, c=2-de bar. Roll ve Lagrange teoremaları.
∪ şeklinde, grafik aralıqta kirişten yüksek olmağanda (convex), Jensen teñsizlikleri:
f(λa + (1 − λ)b) ≤ λf(a) + (1 − λ)f(b), 0 ≤ λ ≤ 1.
a,b şu aralıqtan. ∩ içün işaret ters çevrile. A-da x=3 ve 7 meydanlarınıñ ortası 21; orta x=5-te meydan 25. Orta noqta ∩ şekli sebebinden az bermey. MIT, Convex functions, 3–2 ve 3–12.
Evvel izinli kümeni belgileñiz, soñ namzetler ve işaretlerni tapıñız, soñ qıymetlerni qıyaslañız. 5×5 m kvadrat bütün şartlar izin bergen vaqıtta optimumdır.