Cebir kesirleri: qısqartuv yasaqlanğan qıymetni qaytarmaz

$\frac{x^2-1}{x-1}$ kesirinde $x-1$ -ni qısqartıp $x+1$ almaq mümkün. Bu endi $x=1$ -ge izin beremi? Yoq: başlanğıç kesirniñ $x=1$ içün qıymeti yoq edi, qısqa yazılış ise başlanğıç şartlarnı deñiştirmey. Başqa er aqiqiy $x$ içün qıymet aqiqaten $x+1$ -ge teñ.

Bunda çarpanlarğa ayıruv kerek: yalñız ortaq çarpanlarnı qısqartmaq mümkün, rastkelgen beñzer parçalarnı degil.

Evvel mümkün qıymetlerni yazamız

Ratsional kesir — çoqazalılarnıñ nisbetidir. Onıñ mümkün qıymetler saası paydanı sıfır yapmağan bütün deñişici qıymetlerinden ibarettir. Bizde $x-1\ne0$ , yani $x\ne1$ . $1/[x(x+2)]$ içün 0 ve −2 yasaqlı.

Soñra paynı çarpanlarğa ayıramız:

\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1,\qquad x\ne1.

Qısqartuv $(x-1)/(x-1)=1$ teñligine tayanır; bu ise $x-1$ sıfır olmağanda doğru. $x=1$ içün 1 degil, $0/0$ çıqa: bölüvniñ belli neticesi yoq.

Boş çember ne bildire

Ufqi köçerde kiriş $x$ , tik köçerde kesir qıymeti $y$ qoyula. Er $(x,y)$ çifti bir noqtadır. Bütün mümkün çiftler $y=x+1$ doğrusında, amma $(1,2)$ yoq. Boş çember sıfır qıymetni degil, noqtanıñ çıqarılğanını bildire.

(x²−1)/(x−1) kesiri yalñız x ≠ 1 olğanda x+1-ge teñ. Boş çember (1,2) kirmey. Miqyaslar birdey adımlı; −1 ≤ x ≤ 3 kösterilgen.

$x=2$ içün $3/1=3$ ; $x=0$ içün $(-1)/(-1)=1$ . Birge yaqın yerde qıymetler 2-ge yaqın, amma yaqınlıq yasaqlı yerde qıymet yaratmay.

Toplam azalarını qısqartmaq olmaz

$\frac{x+2}{x}$ umumiy alda 2-ge teñ degil. $x=2$ içün 2, amma $x=4$ içün $6/4=1{,}5$ . Doğru ayıruv: $\frac{x+2}{x}=1+\frac2x$ , $x\ne0$ . Payda $x$ qoşulıcıdır; bütün toplamnıñ ayrı çarpanı degil. OpenStax §1.6-da ratsional ameller.

Ortaq payda ve işaretler

Toplamaq ve çıqarmaq içün bir ortaq paydağa keçemiz, er kesirniñ payı ve paydasını beraber deñiştiremiz:

\frac1x+\frac1{x+1}=\frac{x+1+x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x(x+1)}.

Başlanğıç $x\ne0,-1$ şartları qala. Çıqarğanda ekinci paynıñ bütünini çıqaramız: $(x+1)-x=1$ , demek farq aynı saada $1/[x(x+1)]$ .

Çarpmaq içün paylarnı ve paydalarnı çarpamız. Meselâ, $\frac{x-1}{x}\cdot\frac{x}{x+2}=\frac{x-1}{x+2}$ , amma $x$ yoq olğandan soñ da $x\ne0,-2$ .

Bölüv daa bir şart qoşa

Bölüciniñ qıymeti sıfır olmamalı. Demek:

\frac{x}{x+1}:\frac{x}{x-1}=\frac{x}{x+1}\cdot\frac{x-1}{x}=\frac{x-1}{x+1}.

Birinci payda −1-ni, ekincisi 1-ni çıqara; sıfır olmağan bölüci şartı ise 0-nı çıqara. Üç şart da neticenen beraber qala. Soñkisini unutmaq qısqartuv gizlegen sıfırğa bölüvge izin bermek olur edi.

Tarmaq · AyırmaEksik qıymetni qoşmaq ayrı bir ameldir.

Yañı qaide yaratmaq mümkün

$y=x+1$ qaidesini bütün aqiqiy $x$ , o cümleden bir içün de belgilemek mümkün. Bu başlanğıç bağlılıqnı kenişletip, boş noqtanı 2 ile toldura. Amma bu daa keniş saalı yañı qaidedir; eski kesirniñ endi o qıymeti olğanını isbatlamay.

Sadeleştirüv başlanğıç ameller manalı olğan yerde cevapnı saqlay. Qısqa ifadeni ve başlanğıç şartlarnı beraber taşımaq kerek.