Ögretici oyunda A, B, C, D kartlarından biri teñ şans ile seçile. Olar sırasınen 0, 1, 1, 4 bal bere. Tesadüfiy miqdar sınav neticesini sayı eter; matematik beklenti bu sayılarnı ihtimallıqları ile çekiley. Ayrı oyunnıñ neticesine vade bermey. Paylar, İhtimallıq ve mustaqillik kerek.
Neticeden dağılımğa
X bal sayısı olsun: X(A)=0, X(B)=X(C)=1, X(D)=4. Eki ayrı netice aynı 1 qıymetini bere; onıñ şansı tek kartnıñ şansından eki qat büyük.
| x, bal | P(X=x) | x·P(X=x), bal |
|---|---|---|
| 0 | 1/4 | 0 |
| 1 | 1/2 | 1/2 |
| 4 | 1/4 | 1 |
Bu diskret miqdar: mümkün qıymetlerini tizmek mümkün. Mında olar soñlu sayıda; diskret küme sayıla bilir sonsuz da olabilir. Soñlu dağılım içün:
p_(i) = P(X = x_(i)) ≥ 0, (∑)_(i)p_(i) = 1.
Teşkerüv: 1/4+1/2+1/4=1. Soñki şansnı 1/2 etsek, summa 5/4 olur. «Taqriben» sözü böyle cedvelni doğru etmez. Dağılım şartları.
Çekili ortalama
E[X] = (∑)_(i)x_(i)p_(i) = 0 ⋅ (1)/(4) + 1 ⋅ (1)/(2) + 4 ⋅ (1)/(4) = 1.5.
E[X] — X-niñ matematik beklentisi; mektep kitaplarında M(X) de rastkele. İhtimallıqlar birimsiz, beklenti bal ile ölçene. Bu üç ayrı sayı (0+1+4)/3 ortalaması degil: modelde 1 daa sıq çıqa. OpenStax
Dağılım ve beklenti
X: A→0, B→1, C→1, D→4
Bir oyunda 1.5 bal almaq mında mümkün degil. Kartnı qaytarıp aynı modelni mustaqil çoq kere tekrarlasaq, orta bal A043-teki büyük sayılar qanunı manasında 1.5-ke yaqınlaşa. Bu er on oyunda tam 15 bal vadesi degil; soñraki kart evvelkini telâfi etmege mecbur degil.
Bağlılıqta da beklentiler toplana
Soñlu qıymetli miqdarlar ve sabit a,b içün:
E[X + Y] = E[X] + E[Y], E[aX + b] = aE[X] + b.
Mustaqillik kerek degil. Aynı kart üstünde Y=4−X olsun. X büyük olsa Y kiçik, olar bağlıdır. Amma X+Y er zaman 4:
E[Y] = 4 − E[X] = 2.5, E[X + Y] = 4 = 1.5 + 2.5.
Niçün? Er esas neticede X ile Y-ni toplayıp onıñ şansına çarpamız, soñ X ve Y qoşulıcılarını ayrı gruppalaymız. Bu dağıtuv qaidesidir, mustaqillik şartı degil. Beklentiniñ sızıqlılığı, MIT.
On kere bal berilse, beklenilgen cemi 10·1.5=15 bal. Sızıqlılıq summanıñ beklentisini bere, summanı vade etmey. Miqdarnı ve birimni atañız, dağılımnı quruñız, şanslar summasını teşkeriñiz.