У навчальній грі рівномірно вибирають одну з чотирьох карток A, B, C, D. Вони дають відповідно 0, 1, 1, 4 бали. Випадкова величина перетворює результат досліду на число, а математичне сподівання зважує ці числа їхніми ймовірностями. Воно не обіцяє результату окремої гри. Потрібні частки, ймовірність та незалежність.
Від результатів до розподілу
Позначимо кількість балів X: X(A)=0, X(B)=X(C)=1, X(D)=4. Два різні результати дають те саме значення 1, тому його ймовірність удвічі більша за ймовірність кожної окремої картки.
| x, бали | P(X=x) | x·P(X=x), бали |
|---|---|---|
| 0 | 1/4 | 0 |
| 1 | 1/2 | 1/2 |
| 4 | 1/4 | 1 |
Це дискретна величина: можливі значення можна перелічити. Тут їх скінченно багато; загалом дискретний набір може бути й зліченним. Для скінченного розподілу:
p_(i) = P(X = x_(i)) ≥ 0, (∑)_(i)p_(i) = 1.
Перевірка: 1/4+1/2+1/4=1. Заміна останньої ймовірності на 1/2 дала б суму 5/4 — такої таблиці недостатньо виправдати словом «приблизно». Умови розподілу.
Середнє з вагами
E[X] = (∑)_(i)x_(i)p_(i) = 0 ⋅ (1)/(4) + 1 ⋅ (1)/(2) + 4 ⋅ (1)/(4) = 1.5.
E[X] читаємо «математичне сподівання X»; у шкільних книгах трапляється також M(X). Ймовірності безрозмірні, тому сподівання вимірюється в балах. Це не середнє трьох різних чисел (0+1+4)/3: значення 1 трапляється в моделі частіше. OpenStax
Розподіл і сподівання
X: A→0, B→1, C→1, D→4
Отримати 1.5 бала за одну гру тут неможливо. Якщо багато разів незалежно повторювати ту саму модель з поверненням картки, середнє балів наближається до 1.5 у сенсі закону великих чисел із A043. Це не точний результат будь-яких десяти ігор і не вимога, щоб наступна картка компенсувала попередню.
Сподівання додаються навіть за залежності
Для величин зі скінченними значеннями та сталих a,b:
E[X + Y] = E[X] + E[Y], E[aX + b] = aE[X] + b.
Незалежність тут не потрібна. На тій самій картці визначимо Y=4−X. Коли X велике, Y мале, тож вони залежні. Але X+Y завжди 4:
E[Y] = 4 − E[X] = 2.5, E[X + Y] = 4 = 1.5 + 2.5.
Чому правило працює? На кожному елементарному результаті додаємо X і Y, множимо на його шанс, а потім групуємо доданки окремо для X та Y. Це звичайна розподільність множення, а не припущення про незалежність. Лінійність сподівання, MIT.
Для десяти таких нарахувань очікувана сума — 10·1.5=15 балів. Лінійність дає сподівання суми, але не гарантує саму суму. Перед обчисленням назвіть величину й одиниці, складіть розподіл і перевірте його суму.