Якщо від центра майбутньої восьмикутної форми до кожного кута має бути 2 м, то до середини її сторони буде менше. Саме тут легко переплутати два радіуси й отримати неправильний розмір між протилежними сторонами.
Правильний многокутник має всі сторони рівні й усі внутрішні кути рівні. Його описане коло проходить через вершини, а вписане дотикається до сторін; у цих кіл спільний центр, але різні радіуси. Потрібні кути в колі, подібність та синус і косинус.
Не кожна замкнена ламана — наша фігура
Многокутник тут простий: сторони утворюють замкнений контур без самоперетинів; сусідні сторони не лежать на одній прямій. У n-кутника n вершин, n сторін, а периметр — сума їхніх довжин.
Опуклий многокутник лежить по один бік від кожної прямої, що містить його сторону. Усі внутрішні кути тоді менші за 180°. Увігнута проста фігура має внутрішній кут більший за 180°; це не самоперетинна зірка, а інша проста форма. OpenStax: види многокутників.
Рівність лише сторін не гарантує правильності: ромб із кутами 60° і 120° не є квадратом. Рівності лише кутів також мало: прямокутник із різними сусідніми сторонами не правильний. Потрібні обидві умови одночасно.
Звідки береться сума кутів
Із однієї вершини опуклого n-кутника проведімо всі діагоналі. Усередині утвориться n−2 трикутники, без перекриття. Їхні кути разом складають кути многокутника, тому:
S_(кутів) = (n − 2) ⋅ 180°.
Для шестикутника це 720°, для восьмикутника 1080°. Ділити цю суму на n для окремого кута можна, лише коли кути рівні. У правильного n-кутника кожен внутрішній кут дорівнює 180°−360°/n. Зовнішній поворот при обході — 360°/n, а всі повороти разом дають 360°.
Для восьмикутника внутрішній кут 135°, зовнішній 45°. Кут між радіусами до сусідніх вершин теж 45°, але стоїть біля центра, а не біля вершини: це центральний кут.
Опуклий та увігнутий п’ятикутники
n = 6, R = 2, r ≈ 1,732
n = 8, R = 2, r ≈ 1,848
Половина центрального трикутника
Два кола та один прямокутний трикутник
Нехай O — спільний центр, A і B — сусідні вершини, M — середина AB. Тоді OA=OB=R, OM=r, AB=s та OM⊥AB. Відрізок OM називають апофемою; його довжина є радіусом вписаного кола.
Чому центр спільний? Його знаходять як перетин бісектрис двох сусідніх кутів. Далі рівні сторони й кути дають послідовно рівні трикутники від цієї точки до сусідніх вершин. Тому відстані до всіх вершин однакові, а висоти цих трикутників до сторін теж однакові. Отримуємо одне коло через вершини та інше, дотичне до сторін. Від вершини до O довше, ніж перпендикуляр від сторони до O, тому R>r.
Висота OM ділить центральний кут навпіл: ∠AOM=180°/n. У прямокутному AOM гіпотенуза R, прилеглий катет r, протилежний s/2. Отже:
s = 2Rsin((180°)/(n)), r = Rcos((180°)/(n)).
У цих формулах n — ціле число не менше 3; аргумент синуса й косинуса виміряно в градусах. Звідси також R=s/(2sin(180°/n)); периметр P=ns. WYDOT, Plane Geometry, E-4.
Розмітка восьмикутника навколо центра
При n=8 і R=2 м центральний кут 45°, його половина 22,5°. Тому сторона s=4sin22,5°≈1,531 м, а r=2cos22,5°≈1,848 м.
Між протилежними вершинами буде 4 м, між протилежними сторонами — 2r≈3,696 м. Саме через парність восьмикутника протилежні вершини й сторони попарно симетричні відносно центра. Для довільного непарного n такого ж тлумачення «двох протилежних сторін» немає.
Для розмітки позначаємо вісім напрямів через 45° від O і відкладаємо R=2 м на кожному. Сполучаємо сусідні точки відрізками, не дугами. Числа округлено для пояснення моделі; точність реальної розмітки визначається інструментами.
Додатково: шестикутник без транспортира
У правильного шестикутника центральний кут 60°. Трикутник між двома сусідніми радіусами рівносторонній, тому сторона шестикутника дорівнює R. На даному колі можна послідовно відкладати циркулем хорди довжини R: шість рівних кроків замкнуть точний шестикутник в ідеальній моделі. Евклід IV.15.
Числова формула для довільного n і точна класична побудова лише немаркованою лінійкою й циркулем — різні задачі. Тут розглянуто конкретну можливу побудову; загальної класифікації побудовності цей урок не доводить.