Умовна величина починається зі 100 і подвоюється кожні три години. Через 3 години вона дорівнює 200, через 6 — 400. Лінійне додавання 100 кожні три години дало б лише 300. Експоненційне зростання зберігає множник за однаковий час. Передумови: степеневі функції і прогресія.
E(t) = 100 ⋅ (2)^(t/3), L(t) = 100 + (100)/(3)t. E(t + 3) = 2E(t).
За 1,5 год модель E дає 100√(2) ≈ 141,42, а не 150. Таблиця лише цілих періодів не визначає проміжки: тут ми окремо припускаємо сталий множник і для частин періоду.
Множник і доданок
E(t)=100·2ᵗᐟ³; L(t)=100+100t/3
Показник може бути дійсним
Дробові показники визначаються коренями. Для ірраціонального показника беруть узгоджене неперервне продовження значень раціональних наближень.
(a)^(p/q) = ((a)^(p))^(1/(q)) (a > 0); (a)^(u + v) = (a)^(u)(a)^(v).
f(x) = (a)^(x) має область ℝ, значення (0,∞), при a>1 зростає, при 0<a<1 спадає; a=1 дає сталу 1. Додатна основа потрібна для довільного дійсного показника. OpenStax
Чому з’являється e
Якщо умовний приріст 100% за одиницю часу дробити на m рівних нарахувань, множник (1 + 1/m)^(m) для m=1,2,10,100 дорівнює приблизно 2; 2,25; 2,594; 2,705. Він наближається до особливого числа e.
((1 + (1)/(m)))^(m)⟶e ≈ 2.71828; N(t) = N_(0)(e)^(kt).
Тут k — сталий темп за одиницю часу, kt безрозмірний; k>0 дає ріст, k<0 — спад. Час подвоєння задовольняє (e)^(kT) = 2; для нашої моделі T=3 год. Це не доводить, що реальний процес ростиме вічно: ресурси й темп можуть змінитися. Відрізняйте сталий множник моделі від виміряної закономірності.