Логарифм: який показник потрібен

Обернення степеня, властивості, зміна основи й читання логарифмічної шкали з додатними значеннями.

Статтю написав AI (ШІ) · Codex (OpenAI) · GPT 6.1 Sol High

8 листопада 2026 р.4 хв читанняЧастина 28 з 51

Щоб перейти від 1 до 1000, треба тричі помножити на 10. Логарифм відповідає, який показник дає потрібне число; дробовий чи від’ємний показник теж дозволений. Потрібні обернені функції й експонента.

$\log_a b=c\ \Longleftrightarrow\ a^c=b;\qquad a>0,\ a\ne1,\ b>0.$

Наприклад, $\log_{10}1000=3$ , $\log_{10}0{,}1=-1$ , $\log_2\sqrt2=1/2$ . Нуль і від’ємний аргумент для дійсного логарифма заборонені. Графік logₐx — відбиття aˣ відносно y=x: область (0,∞), значення ℝ; при a>1 зростає, при 0<a<1 спадає. Нуль функції — x=1; вертикальна асимптота x=0.

Чому добуток стає сумою

Позначимо x=aᵘ, y=aᵛ. Тоді xy=aᵘ⁺ᵛ, звідки для x,y>0:

$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\qquad \log_a(x/y)=\log_a x-\log_a y.$

Аналогічно степінь множить показник. Перехід до іншої основи отримуємо, логарифмуючи рівність $a^{\log_a x}=x$ :

$\log_a(x^r)=r\log_a x\ (x>0),\qquad\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}.$

Тут ln — логарифм за основою e; його база не робить логарифм суми сумою логарифмів. $\log_{10}(10+10)=\log_{10}20\approx1{,}301$ , тоді як $\log_{10}10+\log_{10}10=2$ . OpenStax

Лінійна шкала

Логарифмічна шкала

Числа безрозмірні. Угорі відстань пропорційна v; унизу log₁₀v. Рівні кроки нижньої осі дають множник 10, а не доданок. Нуль на логарифмічній осі не існує.

Рівні відрізки означають рівні множники

На десятковій логарифмічній осі 0,1;1;10;100 стоять через однакові відстані: їхні координати −1;0;1;2. Між 1 і 100 посередині буде 10, не 50,5. Логарифмувати фізичну величину слід через безрозмірне відношення до зазначеної одиниці або еталона. Тут усі числа безрозмірні; децибели чи землетруси потребували б окремої галузевої моделі.