Правила похідних: стежити за кожною залежністю

Сторона умовного квадрата u(t)=2t+1 збільшується на 2 см за секунду. Чому площа A=u² у момент t=1 зростає на 12 см²/с? Зміна проходить через два зв’язки: час змінює сторону, а сторона — площу. Треба врахувати обидва темпи. t — число секунд, u — число сантиметрів, t≥0. Передумови: експонента, логарифм, тригонометричні формули і похідна.

Як поєднуються зміни

Нехай f і g диференційовні в потрібній точці, c — стала. Сума змінюється як сума темпів; у добутку змінюються обидва множники:

$(f\pm g)'=f'\pm g',\quad(cf)'=cf';\qquad(fg)'=f'g+fg'.$

Для частки потрібен ненульовий знаменник:

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\quad(g\ne0).$

Це не f′g′ і не f′/g′: навіть для x·x хибне правило дало б 1 замість 2x. Правила та їх виведення.

Зовнішня зміна множиться на внутрішню

Для A(u(t)) зовнішня похідна береться в u(t), а потім множиться на u′(t):

$\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{du}\frac{du}{dt}=2u\cdot2=4(2t+1).$

При t=1 маємо u=3, dA/du=6 см²/см і du/dt=2 см/с, тому 12 см²/с. Запис нагадує скорочення одиниць, але правило є теоремою для диференційовних функцій, а не довільним скороченням символів. OpenStax

Два послідовні темпи

При t=1: u=3 см, dA/du=6 см²/см; 6·2=12 см²/с. Схема залежностей без масштабу; стрілки не означають рух предметів.

Таблиця з умовами

Для дійсного r степеневе правило нижче безпечно застосовувати при x>0. Для натурального цілого степеня поліноміальне правило діє також при від’ємних x та в нулі; сталу диференціюємо окремо.

$C'=0,\qquad(x^r)'=rx^{r-1}\quad(x>0).$

Тригонометричний аргумент вимірюється в радіанах. Для tan/cot відповідний знаменник не може бути нульовим:

$(\sin x)'=\cos x,\qquad(\cos x)'=-\sin x.$

$(\tan x)'=\frac1{\cos^2x},\qquad(\cot x)'=-\frac1{\sin^2x}.$

Для експонент і логарифмів b>0, b≠1; логарифм додатково вимагає x>0:

$(e^x)'=e^x,\quad(b^x)'=b^x\ln b.$

$(\ln x)'=\frac1x,\quad(\log_bx)'=\frac1{x\ln b}.$

Джерела таблиці: тригонометричні похідні, експоненти та логарифми.

Перевірка починається з будови

$(x\sin x)'=\sin x+x\cos x;\qquad\left(\frac{x}{x+1}\right)'=\frac1{(x+1)^2}.$

В останній формулі x≠−1 зберігається з початкового виразу. Ще один ланцюжок:

$(\ln(2t+1))'=\frac2{2t+1}\quad(t>-1/2).$

Без множника 2 ми втратили б швидкість внутрішньої зміни. Спершу назвіть головну операцію — суму, добуток, частку чи вкладення; потім диференціюйте її частини й перевірте область та одиниці. Одна таблиця без цього порядку не пояснює темп зміни.