Етикетка банки розгортається у прямокутник. Конічний ковпак потребує частини круга. Чому ті самі радіус і висота не дають однакової бічної площі? Порівняємо власні циліндр і конус з r=4 см та h=3 см; головне — не переплутати радіус основи з радіусом розгортки.
Обертання фігури утворює тіло
Передумови: дуги й сектори, перпендикуляр до площини, перерізи, розгортки призм.
Тут розглядаємо прямі кругові циліндр і конус, r>0, h>0. Обертання заповненого прямокутника навколо однієї сторони утворює циліндр; обертання прямокутного трикутника навколо катета — конус. Обертання лише протилежної сторони прямокутника або гіпотенузи трикутника створює відповідну бічну поверхню, а не весь об’єм.
Вісь циліндра проходить через центри двох рівних кругових основ; вона перпендикулярна до їхніх площин. Висота h — відстань між цими площинами. Твірна — відрізок бічної поверхні між відповідними точками кіл основ; її довжина дорівнює h.
У конуса одна кругова основа та вершина над її центром. Вісь проходить через вершину й центр; висота — перпендикулярний відрізок між ними. Твірна l сполучає вершину з точкою кола основи. Для нашого конуса:
l = √((r)^(2) + (h)^(2)) = √((4)^(2) + (3)^(2)) = 5 см.
Повний осьовий переріз циліндра — прямокутник 2r×h, конуса — рівнобедрений трикутник з основою 2r і бічними сторонами l. Якщо розділити останній висотою, отримаємо прямокутний трикутник з катетами r,h; не підставляємо діаметр 2r замість r у формулу твірної.
Циліндр: r=4 см, h=3 см
Смужка 8π×3 см і дві основи
Конус: осьовий переріз
Сектор 288° і одна основа
Етикетка: прямокутник довжиною з коло
Розріжмо бічну поверхню циліндра вздовж однієї твірної. Прямокутна смужка має висоту h і довжину 2πr — довжину кола, не площу круга. Тому:
S_(cyl,lat) = 2πrh.
У нашій моделі смужка 8π×3 см, бічна площа 24π≈75,40 см². Закритий циліндр додає два круги площі πr² кожний: повна площа 24π+32π=56π≈175,93 см². Для самої етикетки основи не потрібні. Додаткова смуга для наклеювання потребує окремо заданої ширини; формула її не містить.
Ковпак: сектор радіуса l, а не r
Розрізаний уздовж твірної конус розгортається у сектор. Його радіус l=5 см: відстань від вершини до краю йде по поверхні. Довжина дуги сектора дорівнює довжині кола основи, 2πr=8π см. Якщо центральний кут θ задано в радіанах, lθ=2πr, отже θ=2πr/l=8π/5. У градусах це 360°·r/l=288°.
Не беремо весь круг радіуса 5: його край мав би довжину 10π, завелику для кола 8π. Частка круга дорівнює r/l=4/5. Площа сектора:
S_(cone,lat) = (r)/(l) π(l)^(2) = πrl.
Отже, бічна площа 20π≈62,83 см². З однією основою повна площа 20π+16π=36π≈113,10 см². Відкритий ковпак основи не має. Формула πrh була б помилковою: вертикальна висота 3 см не є радіусом сектора 5 см.
Переріз не дорівнює розгортці
Розгортка зберігає довжини й площу вздовж розрізаної поверхні. Переріз залишає лише точки однієї площини. Тому трикутний осьовий переріз конуса не можна використати замість його секторної розгортки. Так само еліпс основи на просторовому рисунку — проєкція справжнього круга, а не його інша форма.
Необов’язкове поглибленняДля звичайних циліндра й конуса достатньо пояснень вище.
Відгалуження · Зрізаний конус
Паралельний основі зріз нашого прямого конуса на половині висоти від вершини відтинає подібний малий конус: його радіус 2 см, твірна 2,5 см. Залишений зрізаний конус має R=4, r=2, висоту 1,5 та твірну s=2,5 см. Бічна площа — різниця 20π−5π=15π см².
Загалом для прямого кругового зрізаного конуса S=π(R+r)s. Позначимо повну твірну великого конуса L, а малу — tL, де r=tR. Тоді різниця бічних площ πRL−π(tR)(tL)=πR(1−t²)L=π(R+r)s, бо s=L(1−t). Повна площа додає πR²+πr²: у прикладі 15π+16π+4π=35π см². Розгортка бічної поверхні — кільцевий сектор з радіусами 5 і 2,5 см та кутом 288°, а не трапеція. Обидві дуги мають довжини відповідних кіл основ. Для косого зрізу ці умови не виконуються автоматично.
Джерела й межі
Означення, осьові перерізи й розгортки: Мерзляк та співавтори, 2019, пп.19–20, с.122–129. Додаткова перевірка виведень: AMSI, Cones, Pyramids and Spheres, розділи про поверхню циліндра та конуса. Числа й рисунки власні; площі ідеальних поверхонь не враховують товщини й швів. Об’єми розглянемо в G034.